Pré-calcul Exemples

$x^{2} - 2 y = 8 x - 10$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 y = 8 x - 10 - x^{2}$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $- 2 y = 8 x - 10 - x^{2}$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 y = 8 x - 10 - x^{2}$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{8 x}{- 2} + \frac{- 10}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{8 x}{- 2} + \frac{- 10}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{8 x}{- 2} + \frac{- 10}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $- 2$ .

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Étape 1.1.2.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$y = \frac{2 (4 x)}{- 2} + \frac{- 10}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Étape 1.1.2.3.1.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{4 x}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (4 x) + \frac{- 10}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (4 x)$ comme $- (4 x)$ .

$y = - (4 x) + \frac{- 10}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y = - 4 x + \frac{- 10}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Divisez $- 10$ par $- 2$ .

$y = - 4 x + 5 + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Étape 1.1.2.3.1.5

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - 4 x + 5 + \frac{x^{2}}{2}$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- 4 x + 5 + \frac{x^{2}}{2}$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1.1

Déplacez $5$ .

$- 4 x + \frac{x^{2}}{2} + 5$

Étape 1.2.1.2

Remettez dans l’ordre $- 4 x$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} - 4 x + 5$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 4$

$c = 5$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.2.4.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.4.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - 2 \cdot 2$

Étape 1.2.4.2.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$d = - 4$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 4)}^{2}$ et $4$ .

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Étape 1.2.5.2.1.1.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$e = 5 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (4)$ .

$e = 5 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 5 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.4

Multipliez $4^{2}$ par $1$ .

$e = 5 - \frac{4^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.5.2.1.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$e = 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$e = 5 - \frac{4}{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = 5 - (4 \cdot 2)$

Étape 1.2.5.2.1.3

Multipliez $- (4 \cdot 2)$ .

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Étape 1.2.5.2.1.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$e = 5 - 1 \cdot 8$

Étape 1.2.5.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$e = 5 - 8$

Étape 1.2.5.2.2

Soustrayez $8$ de $5$ .

$e = - 3$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} - 3$ .

$\frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} - 3$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{2} - 3$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 4$

$k = - 3$

Étape 3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(4, - 3)$

Étape 5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Étape 5.3.2

Divisez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 6

Déterminez le foyer.

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Étape 6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(4, - \frac{5}{2})$

Étape 7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 4$

Étape 8

Déterminez la directrice.

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Étape 8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - \frac{7}{2}$

Étape 9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(4, - 3)$

Foyer : $(4, - \frac{5}{2})$

Axe de symétrie : $x = 4$

Directrice : $y = - \frac{7}{2}$

Étape 10