Pré-calcul Exemples

$2 x + y + z = 5$ , $4 x - y - 3 z = 1$ , $8 x + y - z = 5$

Étape 1

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 4 & - 1 & - 3 \\ 8 & 1 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ 5 \end{array}]$

Étape 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 4 & - 1 & - 3 \\ 8 & 1 & - 1 \end{array}]$ .

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Étape 2.1

Write $[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 4 & - 1 & - 3 \\ 8 & 1 & - 1 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 4 & - 1 & - 3 \\ 8 & 1 & - 1 \end{array} |$

Étape 2.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 2.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Étape 2.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Étape 2.2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 3 \\ 8 & - 1 \end{array} |$

Étape 2.2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 4 & - 3 \\ 8 & - 1 \end{array} |$

Étape 2.2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 8 & 1 \end{array} |$

Étape 2.2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 8 & 1 \end{array} |$

Étape 2.2.9

Add the terms together.

$2 | \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ 1 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 3 \\ 8 & - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 8 & 1 \end{array} |$

Étape 2.3

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

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Étape 2.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (- - 1 - 1 \cdot - 3) - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 3 \\ 8 & - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 8 & 1 \end{array} |$

Étape 2.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 (1 - 1 \cdot - 3) - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 3 \\ 8 & - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 8 & 1 \end{array} |$

Étape 2.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$2 (1 + 3) - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 3 \\ 8 & - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 8 & 1 \end{array} |$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$2 \cdot 4 - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 3 \\ 8 & - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 8 & 1 \end{array} |$

Étape 2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 4 & - 3 \\ 8 & - 1 \end{array} |$ .

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Étape 2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 4 - 1 (4 \cdot - 1 - 8 \cdot - 3) + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 8 & 1 \end{array} |$

Étape 2.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$2 \cdot 4 - 1 (- 4 - 8 \cdot - 3) + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 8 & 1 \end{array} |$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $- 8$ par $- 3$ .

$2 \cdot 4 - 1 (- 4 + 24) + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 8 & 1 \end{array} |$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $- 4$ et $24$ .

$2 \cdot 4 - 1 \cdot 20 + 1 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 8 & 1 \end{array} |$

Étape 2.5

Évaluez $| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 8 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 2.5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 4 - 1 \cdot 20 + 1 (4 \cdot 1 - 8 \cdot - 1)$

Étape 2.5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$2 \cdot 4 - 1 \cdot 20 + 1 (4 - 8 \cdot - 1)$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$2 \cdot 4 - 1 \cdot 20 + 1 (4 + 8)$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $4$ et $8$ .

$2 \cdot 4 - 1 \cdot 20 + 1 \cdot 12$

Étape 2.6

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 - 1 \cdot 20 + 1 \cdot 12$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$8 - 20 + 1 \cdot 12$

Étape 2.6.1.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$8 - 20 + 12$

Étape 2.6.2

Soustrayez $20$ de $8$ .

$- 12 + 12$

Étape 2.6.3

Additionnez $- 12$ et $12$ .

$0$

$D = 0$

Étape 3

Since the determinant is $0$ , the system cannot be solved using Cramer's Rule.