Pré-calcul Exemples

$2 x + 3 y + z = - 4$ , $x - y - 4 z = 9$ , $- x - 4 y + 9 z = - 29$

Étape 1

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

$[\begin{array}{c} 2 & 3 & 1 \\ 1 & - 1 & - 4 \\ - 1 & - 4 & 9 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ 9 \\ - 29 \end{array}]$

Étape 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 2 & 3 & 1 \\ 1 & - 1 & - 4 \\ - 1 & - 4 & 9 \end{array}]$ .

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Étape 2.1

Write $[\begin{array}{c} 2 & 3 & 1 \\ 1 & - 1 & - 4 \\ - 1 & - 4 & 9 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 & 1 \\ 1 & - 1 & - 4 \\ - 1 & - 4 & 9 \end{array} |$

Étape 2.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 2.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 4 & 9 \end{array} |$

Étape 2.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 4 & 9 \end{array} |$

Étape 2.2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} |$

Étape 2.2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} |$

Étape 2.2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 2.2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 2.2.9

Add the terms together.

$2 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 4 & 9 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 2.3

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 4 & 9 \end{array} |$ .

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Étape 2.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (- 1 \cdot 9 - (- 4 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 2.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$2 (- 9 - (- 4 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 2.3.2.1.2

Multipliez $- (- 4 \cdot - 4)$ .

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Étape 2.3.2.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$2 (- 9 - 1 \cdot 16) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 2.3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$2 (- 9 - 16) - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $16$ de $- 9$ .

$2 \cdot - 25 - 3 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} |$ .

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Étape 2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 25 - 3 (1 \cdot 9 - - - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 2.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez $9$ par $1$ .

$2 \cdot - 25 - 3 (9 - - - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $- - - 4$ .

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Étape 2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$2 \cdot - 25 - 3 (9 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 2.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$2 \cdot - 25 - 3 (9 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $4$ de $9$ .

$2 \cdot - 25 - 3 \cdot 5 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 2.5

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$ .

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Étape 2.5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 25 - 3 \cdot 5 + 1 (1 \cdot - 4 - - - 1)$

Étape 2.5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$2 \cdot - 25 - 3 \cdot 5 + 1 (- 4 - - - 1)$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $- - - 1$ .

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Étape 2.5.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 \cdot - 25 - 3 \cdot 5 + 1 (- 4 - 1 \cdot 1)$

Étape 2.5.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \cdot - 25 - 3 \cdot 5 + 1 (- 4 - 1)$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $1$ de $- 4$ .

$2 \cdot - 25 - 3 \cdot 5 + 1 \cdot - 5$

Étape 2.6

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1.1

Multipliez $2$ par $- 25$ .

$- 50 - 3 \cdot 5 + 1 \cdot - 5$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$- 50 - 15 + 1 \cdot - 5$

Étape 2.6.1.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$- 50 - 15 - 5$

Étape 2.6.2

Soustrayez $15$ de $- 50$ .

$- 65 - 5$

Étape 2.6.3

Soustrayez $5$ de $- 65$ .

$- 70$

$D = - 70$

Étape 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Étape 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Étape 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 4 \\ 9 \\ - 29 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 4 & 3 & 1 \\ 9 & - 1 & - 4 \\ - 29 & - 4 & 9 \end{array} |$

Étape 4.2

Find the determinant.

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Étape 4.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 4.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 4.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 4 & 9 \end{array} |$

Étape 4.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 4 & 9 \end{array} |$

Étape 4.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} |$

Étape 4.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} |$

Étape 4.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Étape 4.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Étape 4.2.1.9

Add the terms together.

$- 4 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 4 & 9 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Étape 4.2.2

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ - 4 & 9 \end{array} |$ .

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Étape 4.2.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 4 (- 1 \cdot 9 - (- 4 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$- 4 (- 9 - (- 4 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Étape 4.2.2.2.1.2

Multipliez $- (- 4 \cdot - 4)$ .

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Étape 4.2.2.2.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$- 4 (- 9 - 1 \cdot 16) - 3 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Étape 4.2.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$- 4 (- 9 - 16) - 3 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Étape 4.2.2.2.2

Soustrayez $16$ de $- 9$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Étape 4.2.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} |$ .

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Étape 4.2.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 (9 \cdot 9 - (- 29 \cdot - 4)) + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.2.1.1

Multipliez $9$ par $9$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 (81 - (- 29 \cdot - 4)) + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Étape 4.2.3.2.1.2

Multipliez $- (- 29 \cdot - 4)$ .

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Étape 4.2.3.2.1.2.1

Multipliez $- 29$ par $- 4$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 (81 - 1 \cdot 116) + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Étape 4.2.3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $116$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 (81 - 116) + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Étape 4.2.3.2.2

Soustrayez $116$ de $81$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 \cdot - 35 + 1 | \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$

Étape 4.2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 9 & - 1 \\ - 29 & - 4 \end{array} |$ .

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Étape 4.2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 \cdot - 35 + 1 (9 \cdot - 4 - (- 29 \cdot - 1))$

Étape 4.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.2.1.1

Multipliez $9$ par $- 4$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 \cdot - 35 + 1 (- 36 - (- 29 \cdot - 1))$

Étape 4.2.4.2.1.2

Multipliez $- (- 29 \cdot - 1)$ .

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Étape 4.2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 29$ par $- 1$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 \cdot - 35 + 1 (- 36 - 1 \cdot 29)$

Étape 4.2.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $29$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 \cdot - 35 + 1 (- 36 - 29)$

Étape 4.2.4.2.2

Soustrayez $29$ de $- 36$ .

$- 4 \cdot - 25 - 3 \cdot - 35 + 1 \cdot - 65$

Étape 4.2.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.5.1.1

Multipliez $- 4$ par $- 25$ .

$100 - 3 \cdot - 35 + 1 \cdot - 65$

Étape 4.2.5.1.2

Multipliez $- 3$ par $- 35$ .

$100 + 105 + 1 \cdot - 65$

Étape 4.2.5.1.3

Multipliez $- 65$ par $1$ .

$100 + 105 - 65$

Étape 4.2.5.2

Additionnez $100$ et $105$ .

$205 - 65$

Étape 4.2.5.3

Soustrayez $65$ de $205$ .

$140$

$D_{x} = 140$

Étape 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Étape 4.4

Substitute $- 70$ for $D$ and $140$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{140}{- 70}$

Étape 4.5

Divisez $140$ par $- 70$ .

$x = - 2$

Étape 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Étape 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 4 \\ 9 \\ - 29 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & - 4 & 1 \\ 1 & 9 & - 4 \\ - 1 & - 29 & 9 \end{array} |$

Étape 5.2

Find the determinant.

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Étape 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} |$

Étape 5.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} |$

Étape 5.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} |$

Étape 5.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} |$

Étape 5.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Étape 5.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Étape 5.2.1.9

Add the terms together.

$2 | \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Étape 5.2.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 9 & - 4 \\ - 29 & 9 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (9 \cdot 9 - (- 29 \cdot - 4)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.2.1.1

Multipliez $9$ par $9$ .

$2 (81 - (- 29 \cdot - 4)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.1.2

Multipliez $- (- 29 \cdot - 4)$ .

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Étape 5.2.2.2.1.2.1

Multipliez $- 29$ par $- 4$ .

$2 (81 - 1 \cdot 116) + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $116$ .

$2 (81 - 116) + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Étape 5.2.2.2.2

Soustrayez $116$ de $81$ .

$2 \cdot - 35 + 4 | \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Étape 5.2.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & - 4 \\ - 1 & 9 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 35 + 4 (1 \cdot 9 - - - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.2.1.1

Multipliez $9$ par $1$ .

$2 \cdot - 35 + 4 (9 - - - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2.1.2

Multipliez $- - - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$2 \cdot - 35 + 4 (9 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$2 \cdot - 35 + 4 (9 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Étape 5.2.3.2.2

Soustrayez $4$ de $9$ .

$2 \cdot - 35 + 4 \cdot 5 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Étape 5.2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$ .

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Étape 5.2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 35 + 4 \cdot 5 + 1 (1 \cdot - 29 - (- 1 \cdot 9))$

Étape 5.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.2.1.1

Multipliez $- 29$ par $1$ .

$2 \cdot - 35 + 4 \cdot 5 + 1 (- 29 - (- 1 \cdot 9))$

Étape 5.2.4.2.1.2

Multipliez $- (- 1 \cdot 9)$ .

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Étape 5.2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$2 \cdot - 35 + 4 \cdot 5 + 1 (- 29 - - 9)$

Étape 5.2.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$2 \cdot - 35 + 4 \cdot 5 + 1 (- 29 + 9)$

Étape 5.2.4.2.2

Additionnez $- 29$ et $9$ .

$2 \cdot - 35 + 4 \cdot 5 + 1 \cdot - 20$

Étape 5.2.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.5.1.1

Multipliez $2$ par $- 35$ .

$- 70 + 4 \cdot 5 + 1 \cdot - 20$

Étape 5.2.5.1.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$- 70 + 20 + 1 \cdot - 20$

Étape 5.2.5.1.3

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$- 70 + 20 - 20$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $- 70$ et $20$ .

$- 50 - 20$

Étape 5.2.5.3

Soustrayez $20$ de $- 50$ .

$- 70$

$D_{y} = - 70$

Étape 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Étape 5.4

Substitute $- 70$ for $D$ and $- 70$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 70}{- 70}$

Étape 5.5

Divisez $- 70$ par $- 70$ .

$y = 1$

Étape 6

Find the value of $z$ by Cramer's Rule, which states that $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

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Étape 6.1

Replace column $3$ of the coefficient matrix that corresponds to the $z$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 4 \\ 9 \\ - 29 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 3 & - 4 \\ 1 & - 1 & 9 \\ - 1 & - 4 & - 29 \end{array} |$

Étape 6.2

Find the determinant.

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Étape 6.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 6.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 9 \\ - 4 & - 29 \end{array} |$

Étape 6.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 1 & 9 \\ - 4 & - 29 \end{array} |$

Étape 6.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Étape 6.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$

Étape 6.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.2.1.9

Add the terms together.

$2 | \begin{array}{c} - 1 & 9 \\ - 4 & - 29 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.2.2

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & 9 \\ - 4 & - 29 \end{array} |$ .

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Étape 6.2.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (- - 29 - (- 4 \cdot 9)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 6.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 29$ .

$2 (29 - (- 4 \cdot 9)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2.1.2

Multipliez $- (- 4 \cdot 9)$ .

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Étape 6.2.2.2.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$2 (29 - - 36) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 36$ .

$2 (29 + 36) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.2.2.2.2

Additionnez $29$ et $36$ .

$2 \cdot 65 - 3 | \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.2.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & 9 \\ - 1 & - 29 \end{array} |$ .

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Étape 6.2.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 65 - 3 (1 \cdot - 29 - (- 1 \cdot 9)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 6.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.3.2.1.1

Multipliez $- 29$ par $1$ .

$2 \cdot 65 - 3 (- 29 - (- 1 \cdot 9)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2.1.2

Multipliez $- (- 1 \cdot 9)$ .

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Étape 6.2.3.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$2 \cdot 65 - 3 (- 29 - - 9) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$2 \cdot 65 - 3 (- 29 + 9) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.2.3.2.2

Additionnez $- 29$ et $9$ .

$2 \cdot 65 - 3 \cdot - 20 - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$

Étape 6.2.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & - 4 \end{array} |$ .

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Étape 6.2.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 65 - 3 \cdot - 20 - 4 (1 \cdot - 4 - - - 1)$

Étape 6.2.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.2.1.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$2 \cdot 65 - 3 \cdot - 20 - 4 (- 4 - - - 1)$

Étape 6.2.4.2.1.2

Multipliez $- - - 1$ .

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Étape 6.2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 \cdot 65 - 3 \cdot - 20 - 4 (- 4 - 1 \cdot 1)$

Étape 6.2.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \cdot 65 - 3 \cdot - 20 - 4 (- 4 - 1)$

Étape 6.2.4.2.2

Soustrayez $1$ de $- 4$ .

$2 \cdot 65 - 3 \cdot - 20 - 4 \cdot - 5$

Étape 6.2.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 6.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.5.1.1

Multipliez $2$ par $65$ .

$130 - 3 \cdot - 20 - 4 \cdot - 5$

Étape 6.2.5.1.2

Multipliez $- 3$ par $- 20$ .

$130 + 60 - 4 \cdot - 5$

Étape 6.2.5.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 5$ .

$130 + 60 + 20$

Étape 6.2.5.2

Additionnez $130$ et $60$ .

$190 + 20$

Étape 6.2.5.3

Additionnez $190$ et $20$ .

$210$

$D_{z} = 210$

Étape 6.3

Use the formula to solve for $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Étape 6.4

Substitute $- 70$ for $D$ and $210$ for $D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{210}{- 70}$

Étape 6.5

Divisez $210$ par $- 70$ .

$z = - 3$

Étape 7

Indiquez la solution au système d’équations.

$x = - 2$

$y = 1$

$z = - 3$