Pré-calcul Exemples

${(x + 1)}^{2} = - 12 (y - 6)$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Réécrivez l’équation comme $- 12 (y - 6) = {(x + 1)}^{2}$ .

$- 12 (y - 6) = {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $- 12 (y - 6) = {(x + 1)}^{2}$ par $- 12$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 12 (y - 6) = {(x + 1)}^{2}$ par $- 12$ .

$\frac{- 12 (y - 6)}{- 12} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{- 12}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 12$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 12 (y - 6)}{- 12} = \frac{{(x + 1)}^{2}}{- 12}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $y - 6$ par $1$ .

$y - 6 = \frac{{(x + 1)}^{2}}{- 12}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 6 = - \frac{{(x + 1)}^{2}}{12}$

Étape 1.1.3

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{{(x + 1)}^{2}}{12} + 6$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - \frac{1}{12} \cdot {(x + 1)}^{2} + 6$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- \frac{1}{12} \cdot {(x + 1)}^{2} + 6$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$- \frac{1}{12} \cdot ((x + 1) (x + 1)) + 6$

Étape 1.2.1.1.2

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{12} \cdot (x (x + 1) + 1 (x + 1)) + 6$

Étape 1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) + 6$

Étape 1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{12} \cdot (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + 6$

Étape 1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + 6$

Étape 1.2.1.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) + 6$

Étape 1.2.1.1.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) + 6$

Étape 1.2.1.1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} + x + x + 1) + 6$

Étape 1.2.1.1.3.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$- \frac{1}{12} \cdot (x^{2} + 2 x + 1) + 6$

Étape 1.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{12} x^{2} - \frac{1}{12} (2 x) - \frac{1}{12} \cdot 1 + 6$

Étape 1.2.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.2.1.1.5.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{12}$ .

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{1}{12} (2 x) - \frac{1}{12} \cdot 1 + 6$

Étape 1.2.1.1.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.1.1.5.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{12}$ dans le numérateur.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{12} (2 x) - \frac{1}{12} \cdot 1 + 6$

Étape 1.2.1.1.5.2.2

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{2 (6)} (2 x) - \frac{1}{12} \cdot 1 + 6$

Étape 1.2.1.1.5.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{2 (6)} (2 (x)) - \frac{1}{12} \cdot 1 + 6$

Étape 1.2.1.1.5.2.4

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{2 \cdot 6} (2 x) - \frac{1}{12} \cdot 1 + 6$

Étape 1.2.1.1.5.2.5

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- 1}{6} x - \frac{1}{12} \cdot 1 + 6$

Étape 1.2.1.1.5.3

Associez $\frac{- 1}{6}$ et $x$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- x}{6} - \frac{1}{12} \cdot 1 + 6$

Étape 1.2.1.1.5.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{x^{2}}{12} + \frac{- x}{6} - \frac{1}{12} + 6$

Étape 1.2.1.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} - \frac{1}{12} + 6$

Étape 1.2.1.2

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} - \frac{1}{12} + 6 \cdot \frac{12}{12}$

Étape 1.2.1.3

Associez $6$ et $\frac{12}{12}$ .

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} - \frac{1}{12} + \frac{6 \cdot 12}{12}$

Étape 1.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{- 1 + 6 \cdot 12}{12}$

Étape 1.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1.5.1

Multipliez $6$ par $12$ .

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{- 1 + 72}{12}$

Étape 1.2.1.5.2

Additionnez $- 1$ et $72$ .

$- \frac{x^{2}}{12} - \frac{x}{6} + \frac{71}{12}$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{12}$

$b = - \frac{1}{6}$

$c = \frac{71}{12}$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{6}}{2 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$d = \frac{\frac{1}{6}}{2 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.4.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{12}$ .

$d = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2}{12}}$

Étape 1.2.4.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $12$ .

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Étape 1.2.4.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{12}}$

Étape 1.2.4.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$d = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Étape 1.2.4.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Étape 1.2.4.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Étape 1.2.4.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{1}{6} (1 \cdot 6)$

Étape 1.2.4.2.6

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.2.4.2.6.1

Factorisez $6$ à partir de $1 \cdot 6$ .

$d = \frac{1}{6} (6 \cdot 1)$

Étape 1.2.4.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{1}{6} (6 \cdot 1)$

Étape 1.2.4.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{71}{12} - \frac{{(- \frac{1}{6})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{6}$ .

$e = \frac{71}{12} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{6})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{71}{12} - \frac{1 {(\frac{1}{6})}^{2}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{6}$ .

$e = \frac{71}{12} - \frac{1 \frac{1^{2}}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e = \frac{71}{12} - \frac{1 \frac{1}{6^{2}}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.5

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{71}{12} - \frac{1 (\frac{1}{36})}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.6

Multipliez $\frac{1}{36}$ par $1$ .

$e = \frac{71}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{4 (- \frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.5.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = \frac{71}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{- 4 (\frac{1}{12})}$

Étape 1.2.5.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{12}$ .

$e = \frac{71}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{- 4}{12}}$

Étape 1.2.5.2.1.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.2.5.2.1.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $12$ .

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Étape 1.2.5.2.1.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$e = \frac{71}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4 (- 1)}{12}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.5.2.1.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$e = \frac{71}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{71}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{71}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{\frac{- 1}{3}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = \frac{71}{12} - \frac{\frac{1}{36}}{- \frac{1}{3}}$

Étape 1.2.5.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = \frac{71}{12} - (\frac{1}{36} (- 1 \cdot 3))$

Étape 1.2.5.2.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.5.2.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$e = \frac{71}{12} - (\frac{1}{3 (12)} (- 1 \cdot 3))$

Étape 1.2.5.2.1.5.2

Factorisez $3$ à partir de $- 1 \cdot 3$ .

$e = \frac{71}{12} - (\frac{1}{3 (12)} (3 \cdot - 1))$

Étape 1.2.5.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{71}{12} - (\frac{1}{3 \cdot 12} (3 \cdot - 1))$

Étape 1.2.5.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{71}{12} - (\frac{1}{12} \cdot - 1)$

Étape 1.2.5.2.1.6

Associez $\frac{1}{12}$ et $- 1$ .

$e = \frac{71}{12} - \frac{- 1}{12}$

Étape 1.2.5.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = \frac{71}{12} - - \frac{1}{12}$

Étape 1.2.5.2.1.8

Multipliez $- - \frac{1}{12}$ .

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Étape 1.2.5.2.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = \frac{71}{12} + 1 (\frac{1}{12})$

Étape 1.2.5.2.1.8.2

Multipliez $\frac{1}{12}$ par $1$ .

$e = \frac{71}{12} + \frac{1}{12}$

Étape 1.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{71 + 1}{12}$

Étape 1.2.5.2.3

Additionnez $71$ et $1$ .

$e = \frac{72}{12}$

Étape 1.2.5.2.4

Divisez $72$ par $12$ .

$e = 6$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{12} {(x + 1)}^{2} + 6$ .

$- \frac{1}{12} {(x + 1)}^{2} + 6$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - \frac{1}{12} \cdot {(x + 1)}^{2} + 6$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{12}$

$h = - 1$

$k = 6$

Étape 3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 1, 6)$

Étape 5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 5.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{12})}$

Étape 5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{12})}$

Étape 5.3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{12}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{12}}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $12$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

Étape 5.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Étape 5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (1 \cdot 3)$

Étape 5.3.5

Multipliez $- (1 \cdot 3)$ .

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Étape 5.3.5.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 1 \cdot 3$

Étape 5.3.5.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3$

Étape 6

Déterminez le foyer.

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Étape 6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 1, 3)$

Étape 7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = - 1$

Étape 8

Déterminez la directrice.

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Étape 8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = 9$

Étape 9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(- 1, 6)$

Foyer : $(- 1, 3)$

Axe de symétrie : $x = - 1$

Directrice : $y = 9$

Étape 10