Pré-calcul Exemples

${(y - 1)}^{2} = 16 (x + 1)$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Réécrivez l’équation comme $16 (x + 1) = {(y - 1)}^{2}$ .

$16 (x + 1) = {(y - 1)}^{2}$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $16 (x + 1) = {(y - 1)}^{2}$ par $16$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $16 (x + 1) = {(y - 1)}^{2}$ par $16$ .

$\frac{16 (x + 1)}{16} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{16}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 (x + 1)}{16} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{16}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $x + 1$ par $1$ .

$x + 1 = \frac{{(y - 1)}^{2}}{16}$

Étape 1.1.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} - 1$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$x = \frac{1}{16} \cdot {(y - 1)}^{2} - 1$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $\frac{1}{16} \cdot {(y - 1)}^{2} - 1$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

Réécrivez ${(y - 1)}^{2}$ comme $(y - 1) (y - 1)$ .

$\frac{1}{16} \cdot ((y - 1) (y - 1)) - 1$

Étape 1.2.1.1.2

Développez $(y - 1) (y - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{16} \cdot (y (y - 1) - 1 (y - 1)) - 1$

Étape 1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{16} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 (y - 1)) - 1$

Étape 1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{16} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1) - 1$

Étape 1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{1}{16} \cdot (y^{2} + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1) - 1$

Étape 1.2.1.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$\frac{1}{16} \cdot (y^{2} - 1 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 1) - 1$

Étape 1.2.1.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{1}{16} \cdot (y^{2} - y - 1 y - 1 \cdot - 1) - 1$

Étape 1.2.1.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{1}{16} \cdot (y^{2} - y - y - 1 \cdot - 1) - 1$

Étape 1.2.1.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{16} \cdot (y^{2} - y - y + 1) - 1$

Étape 1.2.1.1.3.2

Soustrayez $y$ de $- y$ .

$\frac{1}{16} \cdot (y^{2} - 2 y + 1) - 1$

Étape 1.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{16} y^{2} + \frac{1}{16} (- 2 y) + \frac{1}{16} \cdot 1 - 1$

Étape 1.2.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.2.1.1.5.1

Associez $\frac{1}{16}$ et $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{1}{16} (- 2 y) + \frac{1}{16} \cdot 1 - 1$

Étape 1.2.1.1.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.1.1.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{1}{2 (8)} (- 2 y) + \frac{1}{16} \cdot 1 - 1$

Étape 1.2.1.1.5.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{1}{2 (8)} (2 (- y)) + \frac{1}{16} \cdot 1 - 1$

Étape 1.2.1.1.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{1}{2 \cdot 8} (2 (- y)) + \frac{1}{16} \cdot 1 - 1$

Étape 1.2.1.1.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2}}{16} + \frac{1}{8} (- y) + \frac{1}{16} \cdot 1 - 1$

Étape 1.2.1.1.5.3

Associez $\frac{1}{8}$ et $y$ .

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{y}{8} + \frac{1}{16} \cdot 1 - 1$

Étape 1.2.1.1.5.4

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $1$ .

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{y}{8} + \frac{1}{16} - 1$

Étape 1.2.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{y}{8} + \frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}$

Étape 1.2.1.3

Associez $- 1$ et $\frac{16}{16}$ .

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{y}{8} + \frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

Étape 1.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{y}{8} + \frac{1 - 1 \cdot 16}{16}$

Étape 1.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{y}{8} + \frac{1 - 16}{16}$

Étape 1.2.1.5.2

Soustrayez $16$ de $1$ .

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{y}{8} + \frac{- 15}{16}$

Étape 1.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{y}{8} - \frac{15}{16}$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{16}$

$b = - \frac{1}{8}$

$c = - \frac{15}{16}$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{8}}{2 (\frac{1}{16})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{16})}$

Étape 1.2.4.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{16}$ .

$d = - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2}{16}}$

Étape 1.2.4.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $16$ .

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Étape 1.2.4.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{16}}$

Étape 1.2.4.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$d = - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}}$

Étape 1.2.4.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}}$

Étape 1.2.4.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\frac{1}{8}}$

Étape 1.2.4.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{1}{8} (1 \cdot 8)$

Étape 1.2.4.2.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 1.2.4.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{8}$ dans le numérateur.

$d = \frac{- 1}{8} (1 \cdot 8)$

Étape 1.2.4.2.5.2

Factorisez $8$ à partir de $1 \cdot 8$ .

$d = \frac{- 1}{8} (8 \cdot 1)$

Étape 1.2.4.2.5.3

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 1}{8} (8 \cdot 1)$

Étape 1.2.4.2.5.4

Réécrivez l’expression.

$d = - 1$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{15}{16} - \frac{{(- \frac{1}{8})}^{2}}{4 (\frac{1}{16})}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{8}$ .

$e = - \frac{15}{16} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2}}{4 (\frac{1}{16})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{15}{16} - \frac{1 {(\frac{1}{8})}^{2}}{4 (\frac{1}{16})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{8}$ .

$e = - \frac{15}{16} - \frac{1 \frac{1^{2}}{8^{2}}}{4 (\frac{1}{16})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e = - \frac{15}{16} - \frac{1 \frac{1}{8^{2}}}{4 (\frac{1}{16})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.5

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{15}{16} - \frac{1 (\frac{1}{64})}{4 (\frac{1}{16})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.6

Multipliez $\frac{1}{64}$ par $1$ .

$e = - \frac{15}{16} - \frac{\frac{1}{64}}{4 (\frac{1}{16})}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{16}$ .

$e = - \frac{15}{16} - \frac{\frac{1}{64}}{\frac{4}{16}}$

Étape 1.2.5.2.1.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $16$ .

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Étape 1.2.5.2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$e = - \frac{15}{16} - \frac{\frac{1}{64}}{\frac{4 (1)}{16}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.5.2.1.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$e = - \frac{15}{16} - \frac{\frac{1}{64}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{15}{16} - \frac{\frac{1}{64}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Étape 1.2.5.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{15}{16} - \frac{\frac{1}{64}}{\frac{1}{4}}$

Étape 1.2.5.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = - \frac{15}{16} - (\frac{1}{64} \cdot 4)$

Étape 1.2.5.2.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.5.2.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$e = - \frac{15}{16} - (\frac{1}{4 (16)} \cdot 4)$

Étape 1.2.5.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{15}{16} - (\frac{1}{4 \cdot 16} \cdot 4)$

Étape 1.2.5.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{15}{16} - \frac{1}{16}$

Étape 1.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 15 - 1}{16}$

Étape 1.2.5.2.3

Soustrayez $1$ de $- 15$ .

$e = \frac{- 16}{16}$

Étape 1.2.5.2.4

Divisez $- 16$ par $16$ .

$e = - 1$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{16} {(y - 1)}^{2} - 1$ .

$\frac{1}{16} {(y - 1)}^{2} - 1$

Étape 1.3

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = \frac{1}{16} \cdot {(y - 1)}^{2} - 1$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{16}$

$h = - 1$

$k = 1$

Étape 3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers la droite.

ouvre vers la droite

Étape 4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 1, 1)$

Étape 5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{16}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{16}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{16}}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $16$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{16}}$

Étape 5.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Étape 5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{1}{4}}$

Étape 5.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \cdot 4$

Étape 5.3.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 6

Déterminez le foyer.

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Étape 6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(3, 1)$

Étape 7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = 1$

Étape 8

Déterminez la directrice.

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Étape 8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = - 5$

Étape 9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- 1, 1)$

Foyer : $(3, 1)$

Axe de symétrie : $y = 1$

Directrice : $x = - 5$

Étape 10