Pré-calcul Exemples

$\frac{{(y - 6)}^{2}}{36} - \frac{{(x + 3)}^{2}}{16} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(y - 6)}^{2}}{36} - \frac{{(x + 3)}^{2}}{16} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 6$

$b = 4$

$k = 6$

$h = - 3$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(- 3, 6)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(6)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{36 + {(4)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{36 + 16}$

Étape 5.3.3

Additionnez $36$ et $16$ .

$\sqrt{52}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $52$ comme $2^{2} \cdot 13$ .

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Étape 5.3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $52$ .

$\sqrt{4 (13)}$

Étape 5.3.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 13}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{13}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 3, 12)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 3, 0)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm a)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(- 3, 12), (- 3, 0)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 3, 6 + 2 \sqrt{13})$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 3, 6 - 2 \sqrt{13})$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(- 3, 6 + 2 \sqrt{13}), (- 3, 6 - 2 \sqrt{13})$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} + {(4)}^{2}}}{6}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{36 + 4^{2}}}{6}$

Étape 8.3.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{36 + 16}}{6}$

Étape 8.3.1.3

Additionnez $36$ et $16$ .

$\frac{\sqrt{52}}{6}$

Étape 8.3.1.4

Réécrivez $52$ comme $2^{2} \cdot 13$ .

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Étape 8.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $52$ .

$\frac{\sqrt{4 (13)}}{6}$

Étape 8.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 13}}{6}$

Étape 8.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{13}}{6}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{13}$ .

$\frac{2 (\sqrt{13})}{6}$

Étape 8.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Étape 8.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Étape 8.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{13}}{3}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{4^{2}}{2 \sqrt{13}}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{16}{2 \sqrt{13}}$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 9.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{13}}$

Étape 9.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{13}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (\sqrt{13})}$

Étape 9.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{13}}$

Étape 9.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{\sqrt{13}}$

Étape 9.3.3

Multipliez $\frac{8}{\sqrt{13}}$ par $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{8}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Étape 9.3.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.4.1

Multipliez $\frac{8}{\sqrt{13}}$ par $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{8 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Étape 9.3.4.2

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}$

Étape 9.3.4.3

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}$

Étape 9.3.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{8 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Étape 9.3.4.6

Réécrivez ${\sqrt{13}}^{2}$ comme $13$ .

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Étape 9.3.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{13}$ comme $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{8 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 \sqrt{13}}{13^{1}}$

Étape 9.3.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{8 \sqrt{13}}{13}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ car cette hyperbole ouvre vers le haut et vers le bas.

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (- 3)) + 6$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (- 3)) + 6$

Étape 11.2

Simplifiez $\frac{3}{2} \cdot (x - (- 3)) + 6$ .

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot (x + 3) + 6$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot 3 + 6$

Étape 11.2.1.3

Associez $\frac{3}{2}$ et $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot 3 + 6$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot 3$ .

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Étape 11.2.1.4.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $3$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3 \cdot 3}{2} + 6$

Étape 11.2.1.4.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{9}{2} + 6$

Étape 11.2.2

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{9}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 11.2.3

Associez $6$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{9}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

Étape 11.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{9 + 6 \cdot 2}{2}$

Étape 11.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.5.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{9 + 12}{2}$

Étape 11.2.5.2

Additionnez $9$ et $12$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{21}{2}$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (- 3)) + 6$

Étape 12.2

Simplifiez $- \frac{3}{2} \cdot (x - (- 3)) + 6$ .

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x + 3) + 6$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot 3 + 6$

Étape 12.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 3 + 6$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $- \frac{3}{2} \cdot 3$ .

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Étape 12.2.1.4.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 (\frac{3}{2}) + 6$

Étape 12.2.1.4.2

Associez $- 3$ et $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3 \cdot 3}{2} + 6$

Étape 12.2.1.4.3

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 9}{2} + 6$

Étape 12.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.5.1

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{3 \cdot x}{2} + \frac{- 9}{2} + 6$

Étape 12.2.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2} + 6$

Étape 12.2.2

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 12.2.3

Associez $6$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

Étape 12.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{- 9 + 6 \cdot 2}{2}$

Étape 12.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.5.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{- 9 + 12}{2}$

Étape 12.2.5.2

Additionnez $- 9$ et $12$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{21}{2}, y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(- 3, 6)$

Sommets : $(- 3, 12), (- 3, 0)$

Foyers : $(- 3, 6 + 2 \sqrt{13}), (- 3, 6 - 2 \sqrt{13})$

Excentricité : $\frac{\sqrt{13}}{3}$

Paramètre focal : $\frac{8 \sqrt{13}}{13}$

Asymptotes : $y = \frac{3 x}{2} + \frac{21}{2}$ , $y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 15