Pré-calcul Exemples

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{60} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{60} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 2$

$b = 2 \sqrt{15}$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{15})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 + {(2 \sqrt{15})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{15}$ .

$\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 5.3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 + 4 {\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 + 4 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 15^{1}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 15}$

Étape 5.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $4$ par $15$ .

$\sqrt{4 + 60}$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $4$ et $60$ .

$\sqrt{64}$

Étape 5.3.3.3

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\sqrt{8^{2}}$

Étape 5.3.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$8$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2, 0)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 2, 0)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(2, 0), (- 2, 0)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(8, 0)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 8, 0)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(8, 0), (- 8, 0)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{15})}^{2}}}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + {(2 \sqrt{15})}^{2}}}{2}$

Étape 8.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{15}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{15}}^{2}}}{2}$

Étape 8.3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 {\sqrt{15}}^{2}}}{2}$

Étape 8.3.1.4

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 8.3.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Étape 8.3.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Étape 8.3.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Étape 8.3.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Étape 8.3.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 15^{1}}}{2}$

Étape 8.3.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 15}}{2}$

Étape 8.3.1.5

Multipliez $4$ par $15$ .

$\frac{\sqrt{4 + 60}}{2}$

Étape 8.3.1.6

Additionnez $4$ et $60$ .

$\frac{\sqrt{64}}{2}$

Étape 8.3.1.7

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\frac{\sqrt{8^{2}}}{2}$

Étape 8.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{8}{2}$

Étape 8.3.2

Divisez $8$ par $2$ .

$4$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{2 {\sqrt{15}}^{2}}{8}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 9.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {\sqrt{15}}^{2}$ .

$\frac{2 ({\sqrt{15}}^{2})}{8}$

Étape 9.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 {\sqrt{15}}^{2}}{2 \cdot 4}$

Étape 9.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 {\sqrt{15}}^{2}}{2 \cdot 4}$

Étape 9.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{\sqrt{15}}^{2}}{4}$

Étape 9.3.2

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 9.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 9.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 9.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{15^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 9.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{15^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 9.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{15^{1}}{4}$

Étape 9.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{15}{4}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm \sqrt{15} \cdot x + 0$

Étape 11

Additionnez $\sqrt{15} \cdot x$ et $0$ .

$y = \sqrt{15} x$

Étape 12

Additionnez $- \sqrt{15} \cdot x$ et $0$ .

$y = - \sqrt{15} x$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \sqrt{15} x, y = - \sqrt{15} x$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(0, 0)$

Sommets : $(2, 0), (- 2, 0)$

Foyers : $(8, 0), (- 8, 0)$

Excentricité : $4$

Paramètre focal : $\frac{15}{4}$

Asymptotes : $y = \sqrt{15} x$ , $y = - \sqrt{15} x$

Étape 15