Pré-calcul Exemples

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{225} - \frac{{(x - 5)}^{2}}{400} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{225} - \frac{{(x - 5)}^{2}}{400} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 15$

$b = 20$

$k = 3$

$h = 5$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(5, 3)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(15)}^{2} + {(20)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{225 + {(20)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{225 + 400}$

Étape 5.3.3

Additionnez $225$ et $400$ .

$\sqrt{625}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $625$ comme $25^{2}$ .

$\sqrt{25^{2}}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$25$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(5, 18)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(5, - 12)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm a)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(5, 18), (5, - 12)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(5, 28)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(5, - 22)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(5, 28), (5, - 22)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(15)}^{2} + {(20)}^{2}}}{15}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{225 + 20^{2}}}{15}$

Étape 8.3.1.2

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{225 + 400}}{15}$

Étape 8.3.1.3

Additionnez $225$ et $400$ .

$\frac{\sqrt{625}}{15}$

Étape 8.3.1.4

Réécrivez $625$ comme $25^{2}$ .

$\frac{\sqrt{25^{2}}}{15}$

Étape 8.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{25}{15}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun à $25$ et $15$ .

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\frac{5 (5)}{15}$

Étape 8.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$\frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 3}$

Étape 8.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 3}$

Étape 8.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{3}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{20^{2}}{25}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$\frac{400}{25}$

Étape 9.3.2

Divisez $400$ par $25$ .

$16$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ car cette hyperbole ouvre vers le haut et vers le bas.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (5)) + 3$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (5)) + 3$

Étape 11.2

Simplifiez $\frac{3}{4} \cdot (x - (5)) + 3$ .

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 5) + 3$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 5 + 3$

Étape 11.2.1.3

Associez $\frac{3}{4}$ et $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 5 + 3$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $\frac{3}{4} \cdot - 5$ .

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Étape 11.2.1.4.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $- 5$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 5}{4} + 3$

Étape 11.2.1.4.2

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 15}{4} + 3$

Étape 11.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{15}{4} + 3$

Étape 11.2.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{15}{4} + 3 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 11.2.3

Associez $3$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4}$

Étape 11.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 15 + 3 \cdot 4}{4}$

Étape 11.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.5.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 15 + 12}{4}$

Étape 11.2.5.2

Additionnez $- 15$ et $12$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 3}{4}$

Étape 11.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4}$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (5)) + 3$

Étape 12.2

Simplifiez $- \frac{3}{4} \cdot (x - (5)) + 3$ .

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 5) + 3$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 5 + 3$

Étape 12.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 5 + 3$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $- \frac{3}{4} \cdot - 5$ .

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Étape 12.2.1.4.1

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + 5 (\frac{3}{4}) + 3$

Étape 12.2.1.4.2

Associez $5$ et $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{5 \cdot 3}{4} + 3$

Étape 12.2.1.4.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{15}{4} + 3$

Étape 12.2.1.5

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{15}{4} + 3$

Étape 12.2.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{15}{4} + 3 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 12.2.3

Associez $3$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4}$

Étape 12.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{15 + 3 \cdot 4}{4}$

Étape 12.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.5.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{15 + 12}{4}$

Étape 12.2.5.2

Additionnez $15$ et $12$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{27}{4}$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{27}{4}$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(5, 3)$

Sommets : $(5, 18), (5, - 12)$

Foyers : $(5, 28), (5, - 22)$

Excentricité : $\frac{5}{3}$

Paramètre focal : $16$

Asymptotes : $y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4}$ , $y = - \frac{3 x}{4} + \frac{27}{4}$

Étape 15