Pré-calcul Exemples

$2 x + y^{2} + 8 y + 8 = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x + 8 y + 8 = - y^{2}$

Étape 1.1.1.2

Soustrayez $8 y$ des deux côtés de l’équation.

$2 x + 8 = - y^{2} - 8 y$

Étape 1.1.1.3

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - y^{2} - 8 y - 8$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - y^{2} - 8 y - 8$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - y^{2} - 8 y - 8$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y^{2}}{2} + \frac{- 8 y}{2} + \frac{- 8}{2}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y^{2}}{2} + \frac{- 8 y}{2} + \frac{- 8}{2}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{2} + \frac{- 8 y}{2} + \frac{- 8}{2}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 8 y}{2} + \frac{- 8}{2}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

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Étape 1.1.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8 y$ .

$x = - \frac{y^{2}}{2} + \frac{2 (- 4 y)}{2} + \frac{- 8}{2}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x = - \frac{y^{2}}{2} + \frac{2 (- 4 y)}{2 (1)} + \frac{- 8}{2}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{y^{2}}{2} + \frac{2 (- 4 y)}{2 \cdot 1} + \frac{- 8}{2}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 4 y}{1} + \frac{- 8}{2}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2.4

Divisez $- 4 y$ par $1$ .

$x = - \frac{y^{2}}{2} - 4 y + \frac{- 8}{2}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Divisez $- 8$ par $2$ .

$x = - \frac{y^{2}}{2} - 4 y - 4$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- \frac{y^{2}}{2} - 4 y - 4$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = - 4$

$c = - 4$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.2.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - 2 (- 1 \cdot 2)$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $- 2 (- 1 \cdot 2)$ .

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Étape 1.2.3.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$d = - 2 \cdot - 2$

Étape 1.2.3.2.3.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$d = 4$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 4 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 4)}^{2}$ et $4$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$e = - 4 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (4)$ .

$e = - 4 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = - 4 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.4

Multipliez $4^{2}$ par $1$ .

$e = - 4 - \frac{4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = - 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.1.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$e = - 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{2})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$e = - 4 - \frac{4}{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = - 4 - (4 (- 1 \cdot 2))$

Étape 1.2.4.2.1.3

Multipliez $- (4 (- 1 \cdot 2))$ .

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Étape 1.2.4.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e = - 4 - (4 \cdot - 2)$

Étape 1.2.4.2.1.3.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$e = - 4 - - 8$

Étape 1.2.4.2.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$e = - 4 + 8$

Étape 1.2.4.2.2

Additionnez $- 4$ et $8$ .

$e = 4$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{2} {(y + 4)}^{2} + 4$ .

$- \frac{1}{2} {(y + 4)}^{2} + 4$

Étape 1.3

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = - \frac{1}{2} \cdot {(y + 4)}^{2} + 4$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 4$

$k = - 4$

Étape 3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers la gauche.

Ouvre vers la gauche

Étape 4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(4, - 4)$

Étape 5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 5.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Étape 5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Étape 5.3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Étape 5.3.3

Divisez $4$ par $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 6

Déterminez le foyer.

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Étape 6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{7}{2}, - 4)$

Étape 7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = - 4$

Étape 8

Déterminez la directrice.

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Étape 8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = \frac{9}{2}$

Étape 9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : Ouvre vers la gauche

Sommet : $(4, - 4)$

Foyer : $(\frac{7}{2}, - 4)$

Axe de symétrie : $y = - 4$

Directrice : $x = \frac{9}{2}$

Étape 10