Pré-calcul Exemples

$25 x^{2} + 4 y - 100 x - 16 y + 16 = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Soustrayez $16 y$ de $4 y$ .

$25 x^{2} - 100 x - 12 y + 16 = 0$

Étape 1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.2.1

Soustrayez $25 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 100 x - 12 y + 16 = - 25 x^{2}$

Étape 1.1.2.2

Ajoutez $100 x$ aux deux côtés de l’équation.

$- 12 y + 16 = - 25 x^{2} + 100 x$

Étape 1.1.2.3

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$- 12 y = - 25 x^{2} + 100 x - 16$

Étape 1.1.3

Divisez chaque terme dans $- 12 y = - 25 x^{2} + 100 x - 16$ par $- 12$ et simplifiez.

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Étape 1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $- 12 y = - 25 x^{2} + 100 x - 16$ par $- 12$ .

$\frac{- 12 y}{- 12} = \frac{- 25 x^{2}}{- 12} + \frac{100 x}{- 12} + \frac{- 16}{- 12}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 12$ .

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Étape 1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 12 y}{- 12} = \frac{- 25 x^{2}}{- 12} + \frac{100 x}{- 12} + \frac{- 16}{- 12}$

Étape 1.1.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 25 x^{2}}{- 12} + \frac{100 x}{- 12} + \frac{- 16}{- 12}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = \frac{25 x^{2}}{12} + \frac{100 x}{- 12} + \frac{- 16}{- 12}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Annulez le facteur commun à $100$ et $- 12$ .

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Étape 1.1.3.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $100 x$ .

$y = \frac{25 x^{2}}{12} + \frac{4 (25 x)}{- 12} + \frac{- 16}{- 12}$

Étape 1.1.3.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.3.1.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$y = \frac{25 x^{2}}{12} + \frac{4 (25 x)}{4 (- 3)} + \frac{- 16}{- 12}$

Étape 1.1.3.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{25 x^{2}}{12} + \frac{4 (25 x)}{4 \cdot - 3} + \frac{- 16}{- 12}$

Étape 1.1.3.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{25 x^{2}}{12} + \frac{25 x}{- 3} + \frac{- 16}{- 12}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{25 x^{2}}{12} - \frac{25 x}{3} + \frac{- 16}{- 12}$

Étape 1.1.3.3.1.4

Annulez le facteur commun à $- 16$ et $- 12$ .

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Étape 1.1.3.3.1.4.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 16$ .

$y = \frac{25 x^{2}}{12} - \frac{25 x}{3} + \frac{- 4 (4)}{- 12}$

Étape 1.1.3.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.3.1.4.2.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 12$ .

$y = \frac{25 x^{2}}{12} - \frac{25 x}{3} + \frac{- 4 \cdot 4}{- 4 \cdot 3}$

Étape 1.1.3.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{25 x^{2}}{12} - \frac{25 x}{3} + \frac{- 4 \cdot 4}{- 4 \cdot 3}$

Étape 1.1.3.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{25 x^{2}}{12} - \frac{25 x}{3} + \frac{4}{3}$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $\frac{25 x^{2}}{12} - \frac{25 x}{3} + \frac{4}{3}$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{25}{12}$

$b = - \frac{25}{3}$

$c = \frac{4}{3}$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{25}{3}}{2 (\frac{25}{12})}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{25}{12})}$

Étape 1.2.3.2.2

Associez $2$ et $\frac{25}{12}$ .

$d = - \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 25}{12}}$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $2$ par $25$ .

$d = - \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{\frac{50}{12}}$

Étape 1.2.3.2.4

Annulez le facteur commun à $50$ et $12$ .

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Étape 1.2.3.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $50$ .

$d = - \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2 (25)}{12}}$

Étape 1.2.3.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$d = - \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 6}}$

Étape 1.2.3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = - \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 6}}$

Étape 1.2.3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = - \frac{25}{3} \cdot \frac{1}{\frac{25}{6}}$

Étape 1.2.3.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{25}{3} (1 (\frac{6}{25}))$

Étape 1.2.3.2.6

Multipliez $\frac{6}{25}$ par $1$ .

$d = - \frac{25}{3} \cdot \frac{6}{25}$

Étape 1.2.3.2.7

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 1.2.3.2.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{25}{3}$ dans le numérateur.

$d = \frac{- 25}{3} \cdot \frac{6}{25}$

Étape 1.2.3.2.7.2

Factorisez $25$ à partir de $- 25$ .

$d = \frac{25 (- 1)}{3} \cdot \frac{6}{25}$

Étape 1.2.3.2.7.3

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{25 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{6}{25}$

Étape 1.2.3.2.7.4

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{3} \cdot 6$

Étape 1.2.3.2.8

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.3.2.8.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$d = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (2))$

Étape 1.2.3.2.8.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Étape 1.2.3.2.8.3

Réécrivez l’expression.

$d = - 1 \cdot 2$

Étape 1.2.3.2.9

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$d = - 2$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{{(- \frac{25}{3})}^{2}}{4 (\frac{25}{12})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{25}{3}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{25}{3})}^{2}}{4 (\frac{25}{12})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{1 {(\frac{25}{3})}^{2}}{4 (\frac{25}{12})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{25}{3}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{1 \frac{25^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{25}{12})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.4

Élevez $25$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{1 \frac{625}{3^{2}}}{4 (\frac{25}{12})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{1 (\frac{625}{9})}{4 (\frac{25}{12})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.6

Multipliez $\frac{625}{9}$ par $1$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{625}{9}}{4 (\frac{25}{12})}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{25}{12}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{625}{9}}{\frac{4 \cdot 25}{12}}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Multipliez $4$ par $25$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{625}{9}}{\frac{100}{12}}$

Étape 1.2.4.2.1.4

Annulez le facteur commun à $100$ et $12$ .

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Étape 1.2.4.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $100$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{625}{9}}{\frac{4 (25)}{12}}$

Étape 1.2.4.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.1.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{625}{9}}{\frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 3}}$

Étape 1.2.4.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{625}{9}}{\frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 3}}$

Étape 1.2.4.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{625}{9}}{\frac{25}{3}}$

Étape 1.2.4.2.1.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{625}{9} \cdot \frac{3}{25})$

Étape 1.2.4.2.1.6

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 1.2.4.2.1.6.1

Factorisez $25$ à partir de $625$ .

$e = \frac{4}{3} - (\frac{25 (25)}{9} \cdot \frac{3}{25})$

Étape 1.2.4.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{25 \cdot 25}{9} \cdot \frac{3}{25})$

Étape 1.2.4.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{25}{9} \cdot 3)$

Étape 1.2.4.2.1.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.4.2.1.7.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$e = \frac{4}{3} - (\frac{25}{3 (3)} \cdot 3)$

Étape 1.2.4.2.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{25}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

Étape 1.2.4.2.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{4}{3} - \frac{25}{3}$

Étape 1.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{4 - 25}{3}$

Étape 1.2.4.2.3

Soustrayez $25$ de $4$ .

$e = \frac{- 21}{3}$

Étape 1.2.4.2.4

Divisez $- 21$ par $3$ .

$e = - 7$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{25}{12} {(x - 2)}^{2} - 7$ .

$\frac{25}{12} {(x - 2)}^{2} - 7$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = \frac{25}{12} \cdot {(x - 2)}^{2} - 7$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{25}{12}$

$h = 2$

$k = - 7$

Étape 3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(2, - 7)$

Étape 5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{25}{12}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Associez $4$ et $\frac{25}{12}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 25}{12}}$

Étape 5.3.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $4$ par $25$ .

$\frac{1}{\frac{100}{12}}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $100$ et $12$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $100$ .

$\frac{1}{\frac{4 (25)}{12}}$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 3}}$

Étape 5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 3}}$

Étape 5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{25}{3}}$

Étape 5.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 (\frac{3}{25})$

Étape 5.3.4

Multipliez $\frac{3}{25}$ par $1$ .

$\frac{3}{25}$

Étape 6

Déterminez le foyer.

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Étape 6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2, - \frac{172}{25})$

Étape 7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 2$

Étape 8

Déterminez la directrice.

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Étape 8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - \frac{178}{25}$

Étape 9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(2, - 7)$

Foyer : $(2, - \frac{172}{25})$

Axe de symétrie : $x = 2$

Directrice : $y = - \frac{178}{25}$

Étape 10