Pré-calcul Exemples

$y^{2} - 10 y + 4 x + 25 = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 10 y + 4 x + 25 = - y^{2}$

Étape 1.1.1.2

Ajoutez $10 y$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x + 25 = - y^{2} + 10 y$

Étape 1.1.1.3

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - y^{2} + 10 y - 25$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $4 x = - y^{2} + 10 y - 25$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - y^{2} + 10 y - 25$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{10 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $10$ et $4$ .

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Étape 1.1.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10 y$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 (5 y)}{4} + \frac{- 25}{4}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 (5 y)}{2 (2)} + \frac{- 25}{4}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 (5 y)}{2 \cdot 2} + \frac{- 25}{4}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} + \frac{- 25}{4}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} - \frac{25}{4}$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} - \frac{25}{4}$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = \frac{5}{2}$

$c = - \frac{25}{4}$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{5}{2}}{2 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{5}{2} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{4})})$

Étape 1.2.3.2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2}{4}})$

Étape 1.2.3.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 1.2.3.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}})$

Étape 1.2.3.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}})$

Étape 1.2.3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}})$

Étape 1.2.3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{5}{2} (- \frac{1}{\frac{1}{2}})$

Étape 1.2.3.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{5}{2} (- (1 \cdot 2))$

Étape 1.2.3.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- (1 \cdot 2)$ .

$d = \frac{5}{2} (2 (- 1 \cdot (1)))$

Étape 1.2.3.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{5}{2} (2 (- 1 \cdot (1)))$

Étape 1.2.3.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$d = 5 (- 1 \cdot (1))$

Étape 1.2.3.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$d = 5 \cdot - 1$

Étape 1.2.3.2.8

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$d = - 5$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{5^{2}}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{4}$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{\frac{- 4}{4}}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $- 4$ par $4$ .

$e = - \frac{25}{4} - \frac{\frac{25}{4}}{- 1}$

Étape 1.2.4.2.1.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{25}{4}}{- 1}$ .

$e = - \frac{25}{4} - (- 1 \cdot \frac{25}{4})$

Étape 1.2.4.2.1.5

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{25}{4}$ comme $- \frac{25}{4}$ .

$e = - \frac{25}{4} - - \frac{25}{4}$

Étape 1.2.4.2.1.6

Multipliez $- - \frac{25}{4}$ .

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Étape 1.2.4.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = - \frac{25}{4} + 1 (\frac{25}{4})$

Étape 1.2.4.2.1.6.2

Multipliez $\frac{25}{4}$ par $1$ .

$e = - \frac{25}{4} + \frac{25}{4}$

Étape 1.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 25 + 25}{4}$

Étape 1.2.4.2.3

Additionnez $- 25$ et $25$ .

$e = \frac{0}{4}$

Étape 1.2.4.2.4

Divisez $0$ par $4$ .

$e = 0$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{4} {(y - 5)}^{2} + 0$ .

$- \frac{1}{4} {(y - 5)}^{2} + 0$

Étape 1.3

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = - \frac{1}{4} \cdot {(y - 5)}^{2} + 0$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 0$

$k = 5$

Étape 3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers la gauche.

Ouvre vers la gauche

Étape 4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(0, 5)$

Étape 5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 5.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Étape 5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 5.3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Étape 5.3.3

Divisez $4$ par $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{1}$

Étape 5.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 1$

Étape 5.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 6

Déterminez le foyer.

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Étape 6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 1, 5)$

Étape 7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = 5$

Étape 8

Déterminez la directrice.

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Étape 8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = 1$

Étape 9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : Ouvre vers la gauche

Sommet : $(0, 5)$

Foyer : $(- 1, 5)$

Axe de symétrie : $y = 5$

Directrice : $x = 1$

Étape 10