Pré-calcul Exemples

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{9}} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = \frac{1}{2}$

$b = \frac{1}{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.3.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.3.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Étape 5.3.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{3^{2}}}$

Étape 5.3.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{9}}$

Étape 5.3.7

Pour écrire $\frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}}$

Étape 5.3.8

Pour écrire $- \frac{1}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 5.3.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $36$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.9.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 5.3.9.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 5.3.9.3

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{9 \cdot 4}}$

Étape 5.3.9.4

Multipliez $9$ par $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{36}}$

Étape 5.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{9 - 4}{36}}$

Étape 5.3.11

Soustrayez $4$ de $9$ .

$\sqrt{\frac{5}{36}}$

Étape 5.3.12

Réécrivez $\sqrt{\frac{5}{36}}$ comme $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$

Étape 5.3.13

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.13.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6^{2}}}$

Étape 5.3.13.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{5}}{6}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0 + \frac{1}{2}, 0)$

Étape 6.3

Simplifiez

$(\frac{1}{2}, 0)$

Étape 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(0 - (\frac{1}{2}), 0)$

Étape 6.6

Simplifiez

$(- \frac{1}{2}, 0)$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, 0)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0 + \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

Étape 7.3

Simplifiez

$(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

Étape 7.4

Le deuxième foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(0 - (\frac{\sqrt{5}}{6}), 0)$

Étape 7.6

Simplifiez

$(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

Étape 7.7

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}}}{\frac{1}{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Étape 8.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Étape 8.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Étape 8.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Étape 8.3.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1^{2}}{3^{2}}} \cdot 2$

Étape 8.3.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{3^{2}}} \cdot 2$

Étape 8.3.7

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{9}} \cdot 2$

Étape 8.3.8

Pour écrire $\frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}} \cdot 2$

Étape 8.3.9

Pour écrire $- \frac{1}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Étape 8.3.10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $36$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.3.10.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Étape 8.3.10.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Étape 8.3.10.3

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{9 \cdot 4}} \cdot 2$

Étape 8.3.10.4

Multipliez $9$ par $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{36}} \cdot 2$

Étape 8.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{9 - 4}{36}} \cdot 2$

Étape 8.3.12

Soustrayez $4$ de $9$ .

$\sqrt{\frac{5}{36}} \cdot 2$

Étape 8.3.13

Réécrivez $\sqrt{\frac{5}{36}}$ comme $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}} \cdot 2$

Étape 8.3.14

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.14.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6^{2}}} \cdot 2$

Étape 8.3.14.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{5}}{6} \cdot 2$

Étape 8.3.15

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.15.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{\sqrt{5}}{2 (3)} \cdot 2$

Étape 8.3.15.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 3} \cdot 2$

Étape 8.3.15.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

Excentricité : $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Étape 10