Pré-calcul Exemples

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x - 72 y - 129 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Ajoutez $129$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x - 72 y = 129$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $4 x^{2} - 16 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 16$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 8}{4}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $4$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$d = - 2$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $256$ par $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$e = 0 - 16$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$

Étape 1.3

Remplacez $4 x^{2} - 16 x$ par $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ dans l’équation $4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x - 72 y = 129$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 - 9 y^{2} - 72 y = 129$

Étape 1.4

Déplacez $- 16$ du côté droit de l’équation en ajoutant $16$ des deux côtés.

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 y^{2} - 72 y = 129 + 16$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $- 9 y^{2} - 72 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 9$

$b = - 72$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 72}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 72$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 72$ .

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 (- 9)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot - 9}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 36}{- 9}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 36$ et $- 9$ .

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Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 36$ .

$d = \frac{- 9 (4)}{- 9}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.2.2.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9$ .

$d = \frac{- 9 \cdot 4}{- 9 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 9 \cdot 4}{- 9 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{4}{1}$

Étape 1.5.3.2.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$d = 4$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 72)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $- 72$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{5184}{4 \cdot - 9}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 9$ .

$e = 0 - \frac{5184}{- 36}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $5184$ par $- 36$ .

$e = 0 - - 144$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 144$ .

$e = 0 + 144$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $0$ et $144$ .

$e = 144$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 9 {(y + 4)}^{2} + 144$ .

$- 9 {(y + 4)}^{2} + 144$

Étape 1.6

Remplacez $- 9 y^{2} - 72 y$ par $- 9 {(y + 4)}^{2} + 144$ dans l’équation $4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x - 72 y = 129$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 4)}^{2} + 144 = 129 + 16$

Étape 1.7

Déplacez $144$ du côté droit de l’équation en ajoutant $144$ des deux côtés.

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 4)}^{2} = 129 + 16 - 144$

Étape 1.8

Simplifiez $129 + 16 - 144$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $129$ et $16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 4)}^{2} = 145 - 144$

Étape 1.8.2

Soustrayez $144$ de $145$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 4)}^{2} = 1$

Étape 1.9

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{\frac{1}{4}} - \frac{{(y + 4)}^{2}}{\frac{1}{9}} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = \frac{1}{3}$

$k = - 4$

$h = 2$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(2, - 4)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.3.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.3.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Étape 5.3.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{3^{2}}}$

Étape 5.3.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{9}}$

Étape 5.3.7

Pour écrire $\frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9}}$

Étape 5.3.8

Pour écrire $\frac{1}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 5.3.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $36$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.9.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 5.3.9.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 5.3.9.3

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{9 \cdot 4}}$

Étape 5.3.9.4

Multipliez $9$ par $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{36}}$

Étape 5.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{9 + 4}{36}}$

Étape 5.3.11

Additionnez $9$ et $4$ .

$\sqrt{\frac{13}{36}}$

Étape 5.3.12

Réécrivez $\sqrt{\frac{13}{36}}$ comme $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$

Étape 5.3.13

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.13.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{6^{2}}}$

Étape 5.3.13.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{13}}{6}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{5}{2}, - 4)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{3}{2}, - 4)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(\frac{5}{2}, - 4), (\frac{3}{2}, - 4)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2 + \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2 - \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(2 + \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4), (2 - \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}}{\frac{1}{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Étape 8.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Étape 8.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Étape 8.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Étape 8.3.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{3^{2}}} \cdot 2$

Étape 8.3.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{3^{2}}} \cdot 2$

Étape 8.3.7

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{9}} \cdot 2$

Étape 8.3.8

Pour écrire $\frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9}} \cdot 2$

Étape 8.3.9

Pour écrire $\frac{1}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Étape 8.3.10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $36$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.3.10.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Étape 8.3.10.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Étape 8.3.10.3

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{9 \cdot 4}} \cdot 2$

Étape 8.3.10.4

Multipliez $9$ par $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{36}} \cdot 2$

Étape 8.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{9 + 4}{36}} \cdot 2$

Étape 8.3.12

Additionnez $9$ et $4$ .

$\sqrt{\frac{13}{36}} \cdot 2$

Étape 8.3.13

Réécrivez $\sqrt{\frac{13}{36}}$ comme $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}} \cdot 2$

Étape 8.3.14

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.14.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{6^{2}}} \cdot 2$

Étape 8.3.14.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{13}}{6} \cdot 2$

Étape 8.3.15

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.15.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{\sqrt{13}}{2 (3)} \cdot 2$

Étape 8.3.15.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{13}}{2 \cdot 3} \cdot 2$

Étape 8.3.15.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{13}}{3}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{\frac{\frac{1}{3^{2}}}{\sqrt{13}}}{6}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\frac{1}{3^{2}}}{\sqrt{13}} \cdot \frac{1}{6}$

Étape 9.3.2

Associez.

$\frac{\frac{1}{3^{2}} \cdot 1}{\sqrt{13} \cdot 6}$

Étape 9.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\frac{1}{9} \cdot 1}{\sqrt{13} \cdot 6}$

Étape 9.3.3.2

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $1$ .

$\frac{\frac{1}{9}}{\sqrt{13} \cdot 6}$

Étape 9.3.3.3

Déplacez $6$ à gauche de $\sqrt{13}$ .

$\frac{\frac{1}{9}}{6 \sqrt{13}}$

Étape 9.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{6 \sqrt{13}}$

Étape 9.3.5

Multipliez $\frac{1}{6 \sqrt{13}}$ par $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{6 \sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}})$

Étape 9.3.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.6.1

Multipliez $\frac{1}{6 \sqrt{13}}$ par $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \sqrt{13} \sqrt{13}}$

Étape 9.3.6.2

Déplacez $\sqrt{13}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 (\sqrt{13} \sqrt{13})}$

Étape 9.3.6.3

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 ({\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13})}$

Étape 9.3.6.4

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 ({\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1})}$

Étape 9.3.6.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.6.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {\sqrt{13}}^{2}}$

Étape 9.3.6.7

Réécrivez ${\sqrt{13}}^{2}$ comme $13$ .

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Étape 9.3.6.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{13}$ comme $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.6.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.6.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.6.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.6.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.6.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{1}}$

Étape 9.3.6.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13}$

Étape 9.3.7

Multipliez $6$ par $13$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{78}$

Étape 9.3.8

Multipliez $\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{78}$ .

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Étape 9.3.8.1

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{\sqrt{13}}{78}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{9 \cdot 78}$

Étape 9.3.8.2

Multipliez $9$ par $78$ .

$\frac{\sqrt{13}}{702}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$

Étape 11.2

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$ .

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - 2) - 4$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 2 - 4$

Étape 11.2.1.3

Associez $\frac{2}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 2 - 4$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Étape 11.2.1.4.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{3} - 4$

Étape 11.2.1.4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4}{3} - 4$

Étape 11.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} - 4$

Étape 11.2.2

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 11.2.3

Associez $- 4$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.5.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 - 12}{3}$

Étape 11.2.5.2

Soustrayez $12$ de $- 4$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 16}{3}$

Étape 11.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{16}{3}$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$

Étape 12.2

Simplifiez $- \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$ .

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x - 2) - 4$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \cdot - 2 - 4$

Étape 12.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} \cdot - 2 - 4$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $- \frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Étape 12.2.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + 2 (\frac{2}{3}) - 4$

Étape 12.2.1.4.2

Associez $2$ et $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{2 \cdot 2}{3} - 4$

Étape 12.2.1.4.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{4}{3} - 4$

Étape 12.2.1.5

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} - 4$

Étape 12.2.2

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 12.2.3

Associez $- 4$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Étape 12.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4 - 4 \cdot 3}{3}$

Étape 12.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.5.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4 - 12}{3}$

Étape 12.2.5.2

Soustrayez $12$ de $4$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Étape 12.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{8}{3}$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{16}{3}, y = - \frac{2 x}{3} - \frac{8}{3}$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(2, - 4)$

Sommets : $(\frac{5}{2}, - 4), (\frac{3}{2}, - 4)$

Foyers : $(2 + \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4), (2 - \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4)$

Excentricité : $\frac{\sqrt{13}}{3}$

Paramètre focal : $\frac{\sqrt{13}}{702}$

Asymptotes : $y = \frac{2 x}{3} - \frac{16}{3}$ , $y = - \frac{2 x}{3} - \frac{8}{3}$

Étape 15