Pré-calcul Exemples

$x^{2} - y^{2} = 4 (x - y) + 1$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Soustrayez $4 (x - y)$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - y^{2} - 4 (x - y) = 1$

Étape 1.1.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - y^{2} - 4 x - 4 (- y) = 1$

Étape 1.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$x^{2} - y^{2} - 4 x + 4 y = 1$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $x^{2} - 4 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Étape 1.2.3.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$d = - 2$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 4)}^{2}$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.1.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.1.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.1.1.4

Multipliez $4^{2}$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.1.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.1.1.6

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Étape 1.2.4.2.1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Étape 1.2.4.2.1.1.6.4

Divisez $4$ par $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 0 - 4$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - 2)}^{2} - 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4$

Étape 1.3

Remplacez $x^{2} - 4 x$ par ${(x - 2)}^{2} - 4$ dans l’équation $x^{2} - y^{2} - 4 x + 4 y = 1$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 - y^{2} + 4 y = 1$

Étape 1.4

Déplacez $- 4$ du côté droit de l’équation en ajoutant $4$ des deux côtés.

${(x - 2)}^{2} - y^{2} + 4 y = 1 + 4$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $- y^{2} + 4 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Étape 1.5.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$d = - 2$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à $4^{2}$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.4.2.1.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $- (- 1 \cdot 4)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 0 - - 4$

Étape 1.5.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$e = 4$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(y - 2)}^{2} + 4$ .

$- {(y - 2)}^{2} + 4$

Étape 1.6

Remplacez $- y^{2} + 4 y$ par $- {(y - 2)}^{2} + 4$ dans l’équation $x^{2} - y^{2} - 4 x + 4 y = 1$ .

${(x - 2)}^{2} - {(y - 2)}^{2} + 4 = 1 + 4$

Étape 1.7

Déplacez $4$ du côté droit de l’équation en ajoutant $4$ des deux côtés.

${(x - 2)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = 1 + 4 - 4$

Étape 1.8

Simplifiez $1 + 4 - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1

Additionnez $1$ et $4$ .

${(x - 2)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = 5 - 4$

Étape 1.8.2

Soustrayez $4$ de $5$ .

${(x - 2)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 1$

$b = 1$

$k = 2$

$h = 2$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(2, 2)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 + 1}$

Étape 5.3.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{2}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(3, 2)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(1, 2)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(3, 2), (1, 2)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2 + \sqrt{2}, 2)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2 - \sqrt{2}, 2)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(2 + \sqrt{2}, 2), (2 - \sqrt{2}, 2)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}}{1}$

Étape 8.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Divisez $\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Étape 8.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Étape 8.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 + 1}$

Étape 8.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{2}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 9.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 9.3.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 9.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 9.3.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 9.3.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 9.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 9.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 9.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm 1 \cdot (x - (2)) + 2$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 1 \cdot (x - (2)) + 2$

Étape 11.2

Simplifiez $1 \cdot (x - (2)) + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Multipliez $x - (2)$ par $1$ .

$y = x - (2) + 2$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = x - 2 + 2$

Étape 11.2.2

Associez les termes opposés dans $x - 2 + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$y = x + 0$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$y = x$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - 1 \cdot (x - (2)) + 2$

Étape 12.2

Simplifiez $- 1 \cdot (x - (2)) + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = - 1 \cdot (x - 2) + 2$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 1 x - 1 \cdot - 2 + 2$

Étape 12.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = - x - 1 \cdot - 2 + 2$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y = - x + 2 + 2$

Étape 12.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$y = - x + 4$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = x, y = - x + 4$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(2, 2)$

Sommets : $(3, 2), (1, 2)$

Foyers : $(2 + \sqrt{2}, 2), (2 - \sqrt{2}, 2)$

Excentricité : $\sqrt{2}$

Paramètre focal : $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Asymptotes : $y = x$ , $y = - x + 4$

Étape 15