Pré-calcul Exemples

$x^{2} + 2 x + 15 y = - 3 y^{2} + 7$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

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Étape 1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Ajoutez $3 y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 2 x + 15 y + 3 y^{2} = 7$

Étape 1.1.2

Déplacez $15 y$ .

$x^{2} + 2 x + 3 y^{2} + 15 y = 7$

Étape 1.1.3

Déplacez $2 x$ .

$x^{2} + 3 y^{2} + 2 x + 15 y = 7$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $x^{2} + 2 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 1.2.4.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e = 0 - 1$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x + 1)}^{2} - 1$ .

${(x + 1)}^{2} - 1$

Étape 1.3

Remplacez $x^{2} + 2 x$ par ${(x + 1)}^{2} - 1$ dans l’équation $x^{2} + 3 y^{2} + 2 x + 15 y = 7$ .

${(x + 1)}^{2} - 1 + 3 y^{2} + 15 y = 7$

Étape 1.4

Déplacez $- 1$ du côté droit de l’équation en ajoutant $1$ des deux côtés.

${(x + 1)}^{2} + 3 y^{2} + 15 y = 7 + 1$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $3 y^{2} + 15 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 3$

$b = 15$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{15}{2 \cdot 3}$

Étape 1.5.3.2

Annulez le facteur commun à $15$ et $3$ .

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Étape 1.5.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$d = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 3}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 2}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 2}$

Étape 1.5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{5}{2}$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{15^{2}}{4 \cdot 3}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{225}{4 \cdot 3}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$e = 0 - \frac{225}{12}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Annulez le facteur commun à $225$ et $12$ .

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Étape 1.5.4.2.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $225$ .

$e = 0 - \frac{3 (75)}{12}$

Étape 1.5.4.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.4.2.1.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$e = 0 - \frac{3 \cdot 75}{3 \cdot 4}$

Étape 1.5.4.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{3 \cdot 75}{3 \cdot 4}$

Étape 1.5.4.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{75}{4}$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez $\frac{75}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{75}{4}$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4}$ .

$3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4}$

Étape 1.6

Remplacez $3 y^{2} + 15 y$ par $3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4}$ dans l’équation $x^{2} + 3 y^{2} + 2 x + 15 y = 7$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4} = 7 + 1$

Étape 1.7

Déplacez $- \frac{75}{4}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{75}{4}$ des deux côtés.

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 7 + 1 + \frac{75}{4}$

Étape 1.8

Simplifiez $7 + 1 + \frac{75}{4}$ .

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Étape 1.8.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.8.1.1

Écrivez $7$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7}{1} + 1 + \frac{75}{4}$

Étape 1.8.1.2

Multipliez $\frac{7}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1 + \frac{75}{4}$

Étape 1.8.1.3

Multipliez $\frac{7}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + 1 + \frac{75}{4}$

Étape 1.8.1.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} + \frac{75}{4}$

Étape 1.8.1.5

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{75}{4}$

Étape 1.8.1.6

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4} + \frac{75}{4}$

Étape 1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4 + 4 + 75}{4}$

Étape 1.8.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.8.3.1

Multipliez $7$ par $4$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{28 + 4 + 75}{4}$

Étape 1.8.3.2

Additionnez $28$ et $4$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{32 + 75}{4}$

Étape 1.8.3.3

Additionnez $32$ et $75$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{107}{4}$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $\frac{107}{4}$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{107}{4}} + \frac{3 {(y + \frac{5}{2})}^{2}}{\frac{107}{4}} = \frac{\frac{107}{4}}{\frac{107}{4}}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{107}{4}} + \frac{{(y + \frac{5}{2})}^{2}}{\frac{107}{12}} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = \frac{\sqrt{107}}{2}$

$b = \frac{\sqrt{321}}{6}$

$k = - \frac{5}{2}$

$h = - 1$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(- 1, - \frac{5}{2})$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{107}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{107}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{107}}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{107}}^{2}$ comme $107$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{107}$ comme $107^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(107^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{107^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{107^{1}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{107}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Étape 5.3.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{321}}{6}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{\sqrt{321}}^{2}}{6^{2}}}$

Étape 5.3.4

Réécrivez ${\sqrt{321}}^{2}$ comme $321$ .

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Étape 5.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{321}$ comme $321^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{(321^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}}$

Étape 5.3.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}}$

Étape 5.3.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Étape 5.3.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Étape 5.3.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{1}}{6^{2}}}$

Étape 5.3.4.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{6^{2}}}$

Étape 5.3.5

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{36}}$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun à $321$ et $36$ .

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Étape 5.3.6.1

Factorisez $3$ à partir de $321$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 (107)}{36}}$

Étape 5.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}}$

Étape 5.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}}$

Étape 5.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{107}{12}}$

Étape 5.3.7

Pour écrire $\frac{107}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{107}{12}}$

Étape 5.3.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.8.1

Multipliez $\frac{107}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{107}{12}}$

Étape 5.3.8.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{12} - \frac{107}{12}}$

Étape 5.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3 - 107}{12}}$

Étape 5.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.10.1

Multipliez $107$ par $3$ .

$\sqrt{\frac{321 - 107}{12}}$

Étape 5.3.10.2

Soustrayez $107$ de $321$ .

$\sqrt{\frac{214}{12}}$

Étape 5.3.11

Annulez le facteur commun à $214$ et $12$ .

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Étape 5.3.11.1

Factorisez $2$ à partir de $214$ .

$\sqrt{\frac{2 (107)}{12}}$

Étape 5.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}}$

Étape 5.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}}$

Étape 5.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{107}{6}}$

Étape 5.3.12

Réécrivez $\sqrt{\frac{107}{6}}$ comme $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$

Étape 5.3.13

Multipliez $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Étape 5.3.14

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.14.1

Multipliez $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Étape 5.3.14.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Étape 5.3.14.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Étape 5.3.14.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Étape 5.3.14.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 5.3.14.6

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 5.3.14.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.14.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.14.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.14.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.14.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.14.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Étape 5.3.14.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6}$

Étape 5.3.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.15.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{107 \cdot 6}}{6}$

Étape 5.3.15.2

Multipliez $107$ par $6$ .

$\frac{\sqrt{642}}{6}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

Étape 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(- 1 - (\frac{\sqrt{107}}{2}), - \frac{5}{2})$

Étape 6.5

Simplifiez

$(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

Étape 6.6

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(- 1 - (\frac{\sqrt{642}}{6}), - \frac{5}{2})$

Étape 7.5

Simplifiez

$(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

Étape 7.6

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{107}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}}{\frac{\sqrt{107}}{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{107}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{107}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{107}}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.3

Réécrivez ${\sqrt{107}}^{2}$ comme $107$ .

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Étape 8.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{107}$ comme $107^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(107^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{107^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{107^{1}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.3.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{107}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.3.4.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{321}}{6}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{\sqrt{321}}^{2}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.5

Réécrivez ${\sqrt{321}}^{2}$ comme $321$ .

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Étape 8.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{321}$ comme $321^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{(321^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{1}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.5.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.6

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{36}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.7

Annulez le facteur commun à $321$ et $36$ .

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Étape 8.3.7.1

Factorisez $3$ à partir de $321$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 (107)}{36}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.8

Pour écrire $\frac{107}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.3.9.1

Multipliez $\frac{107}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.9.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{12} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3 - 107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.11.1

Multipliez $107$ par $3$ .

$\sqrt{\frac{321 - 107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.11.2

Soustrayez $107$ de $321$ .

$\sqrt{\frac{214}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.12

Annulez le facteur commun à $214$ et $12$ .

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Étape 8.3.12.1

Factorisez $2$ à partir de $214$ .

$\sqrt{\frac{2 (107)}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{107}{6}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.13

Réécrivez $\sqrt{\frac{107}{6}}$ comme $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.14

Annulez le facteur commun de $\sqrt{107}$ .

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Étape 8.3.14.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{2}{\sqrt{107}}$

Étape 8.3.14.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot 2$

Étape 8.3.15

Associez $\frac{1}{\sqrt{6}}$ et $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{6}}$

Étape 8.3.16

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Étape 8.3.17

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.17.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Étape 8.3.17.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Étape 8.3.17.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Étape 8.3.17.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.17.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 8.3.17.6

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 8.3.17.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.17.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.17.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.17.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.17.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.17.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{1}}$

Étape 8.3.17.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{6}}{6}$

Étape 8.3.18

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 8.3.18.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{2 (\sqrt{6})}{6}$

Étape 8.3.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.18.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Étape 8.3.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Étape 8.3.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(- 1, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

Excentricité : $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 10