Pré-calcul Exemples

$y^{2} + 16 y - 4 x + 4 = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$16 y - 4 x + 4 = - y^{2}$

Étape 1.1.1.2

Soustrayez $16 y$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x + 4 = - y^{2} - 16 y$

Étape 1.1.1.3

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x = - y^{2} - 16 y - 4$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - y^{2} - 16 y - 4$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - y^{2} - 16 y - 4$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 16 y}{- 4} + \frac{- 4}{- 4}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 16 y}{- 4} + \frac{- 4}{- 4}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 16 y}{- 4} + \frac{- 4}{- 4}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 16 y}{- 4} + \frac{- 4}{- 4}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 16$ et $- 4$ .

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Étape 1.1.2.3.1.2.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 16 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (4 y)}{- 4} + \frac{- 4}{- 4}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.3.1.2.2.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (4 y)}{- 4 (1)} + \frac{- 4}{- 4}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (4 y)}{- 4 \cdot 1} + \frac{- 4}{- 4}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 y}{1} + \frac{- 4}{- 4}$

Étape 1.1.2.3.1.2.2.4

Divisez $4 y$ par $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + 4 y + \frac{- 4}{- 4}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Divisez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + 4 y + 1$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $\frac{y^{2}}{4} + 4 y + 1$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = 4$

$c = 1$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{\frac{1}{4}}$

Étape 1.2.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = 2 \cdot 4$

Étape 1.2.3.2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$d = 8$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{4^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à $4^{2}$ et $4$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.2.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$e = 1 - \frac{4}{\frac{1}{4}}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = 1 - (4 \cdot 4)$

Étape 1.2.4.2.1.3

Multipliez $- (4 \cdot 4)$ .

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Étape 1.2.4.2.1.3.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = 1 - 1 \cdot 16$

Étape 1.2.4.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$e = 1 - 16$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $16$ de $1$ .

$e = - 15$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{4} {(y + 8)}^{2} - 15$ .

$\frac{1}{4} {(y + 8)}^{2} - 15$

Étape 1.3

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y + 8)}^{2} - 15$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 15$

$k = - 8$

Étape 3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers la droite.

ouvre vers la droite

Étape 4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 15, - 8)$

Étape 5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Étape 5.3.2

Simplifiez en divisant des nombres.

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Étape 5.3.2.1

Divisez $4$ par $4$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 5.3.2.2

Divisez $1$ par $1$ .

$1$

Étape 6

Déterminez le foyer.

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Étape 6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 14, - 8)$

Étape 7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = - 8$

Étape 8

Déterminez la directrice.

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Étape 8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = - 16$

Étape 9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(- 15, - 8)$

Foyer : $(- 14, - 8)$

Axe de symétrie : $y = - 8$

Directrice : $x = - 16$

Étape 10