Pré-calcul Exemples

$\log_{3} (\sqrt[3]{\frac{1}{9}})$

Étape 1

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{1}{9}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{9}}$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{9}})$

Étape 2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\log_{3} (\frac{1}{\sqrt[3]{9}})$

Étape 3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$\log_{3} (\frac{1}{\sqrt[3]{9}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}})$

Étape 4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{9}}^{2}})$

Étape 4.2

Élevez $\sqrt[3]{9}$ à la puissance $1$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1} {\sqrt[3]{9}}^{2}})$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1 + 2}})$

Étape 4.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{3}})$

Étape 4.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{9}}^{3}$ comme $9$ .

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Étape 4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{9}$ comme $9^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{(9^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Étape 4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Étape 4.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}})$

Étape 4.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}})$

Étape 4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{1}})$

Étape 4.5.5

Évaluez l’exposant.

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9})$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{9}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{9^{2}}$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{9^{2}}}{9})$

Étape 5.2

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{81}}{9})$

Étape 5.3

Réécrivez $81$ comme $3^{3} \cdot 3$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $27$ à partir de $81$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{27 (3)}}{9})$

Étape 5.3.2

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 3}}{9})$

Étape 5.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\log_{3} (\frac{3 \sqrt[3]{3}}{9})$

Étape 6

Réduisez l’expression $\frac{3 \sqrt[3]{3}}{9}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt[3]{3}$ .

$\log_{3} (\frac{3 (\sqrt[3]{3})}{9})$

Étape 6.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\log_{3} (\frac{3 \sqrt[3]{3}}{3 \cdot 3})$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun.

$\log_{3} (\frac{3 \sqrt[3]{3}}{3 \cdot 3})$

Étape 6.4

Réécrivez l’expression.

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{3}}{3})$

Étape 7

Réécrivez $\frac{\sqrt[3]{3}}{3}$ comme $\sqrt[3]{3} \cdot 3^{- 1}$ .

$\log_{3} (\sqrt[3]{3} \cdot 3^{- 1})$

Étape 8

Réécrivez $\log_{3} (\sqrt[3]{3} \cdot 3^{- 1})$ comme $\log_{3} (\sqrt[3]{3}) + \log_{3} (3^{- 1})$ .

$\log_{3} (\sqrt[3]{3}) + \log_{3} (3^{- 1})$

Étape 9

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- 1$ de l’exposant.

$\log_{3} (\sqrt[3]{3}) - \log_{3} (3)$

Étape 10

La base logarithmique $3$ de $3$ est $1$ .

$\log_{3} (\sqrt[3]{3}) - 1 \cdot 1$

Étape 11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\log_{3} (\sqrt[3]{3}) - 1$

Étape 12

Réécrivez $\log_{3} (\sqrt[3]{3})$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 12.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1$

Étape 12.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\log (\sqrt[3]{3})}{\log (3)} - 1$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\log (\sqrt[3]{3})}{\log (3)} - 1$

Forme décimale :

$- 0.\overline{6}$