Pré-calcul Exemples

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{32}})$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{16 (2)}})$

Étape 1.1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt{4^{2} \cdot 2}})$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\log_{4} (\frac{1}{4 \sqrt{2}})$

Étape 2

Multipliez $\frac{1}{4 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\log_{4} (\frac{1}{4 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{4 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 \sqrt{2} \sqrt{2}})$

Étape 3.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 (\sqrt{2} \sqrt{2})})$

Étape 3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})$

Étape 3.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})$

Étape 3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Étape 3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 {\sqrt{2}}^{2}})$

Étape 3.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

Étape 3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

Étape 3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 2^{1}})$

Étape 3.7.5

Évaluez l’exposant.

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 2})$

Étape 4

Multipliez $4$ par $2$ .

$\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{8})$

Étape 5

Réécrivez $\log_{4} (\frac{\sqrt{2}}{8})$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 5.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{\sqrt{2}}{8})}{\log (4)}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\log (\frac{\sqrt{2}}{8})}{\log (4)}$

Forme décimale :

$- 1.25$