Pré-calcul Exemples

$\sum_{k = 5}^{15} (- 10) {(- 1)}^{k - 1}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{k}$ et $a_{k + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{- 10 {(- 1)}^{k + 1 - 1}}{- 10 {(- 1)}^{k - 1}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 10$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{- 10 {(- 1)}^{k + 1 - 1}}{- 10 {(- 1)}^{k - 1}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 1 - 1}}{{(- 1)}^{k - 1}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à ${(- 1)}^{k + 1 - 1}$ et ${(- 1)}^{k - 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez ${(- 1)}^{k - 1}$ à partir de ${(- 1)}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Étape 2.2.2.2.4

Divisez ${(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}$ par $1$ .

$r = {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}$

Étape 2.2.3

Additionnez $k$ et $0$ .

$r = {(- 1)}^{k - (k - 1)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = {(- 1)}^{k - k - - 1}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r = {(- 1)}^{k - k + 1}$

Étape 2.2.5

Soustrayez $k$ de $k$ .

$r = {(- 1)}^{0 + 1}$

Étape 2.2.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$r = {(- 1)}^{1}$

Étape 2.2.7

Évaluez l’exposant.

$r = - 1$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.1

Remplacez $k$ par $5$ dans $(- 10) {(- 1)}^{k - 1}$ .

$a = - 10 {(- 1)}^{5 - 1}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ de $5$ .

$a = - 10 {(- 1)}^{4}$

Étape 3.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$a = - 10 \cdot 1$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$a = - 10$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$- 10 \frac{1 - {(- 1)}^{11}}{1 - - 1}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{11}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{11}$ .

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Étape 5.1.1.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$- 10 \frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{11}}{1 - - 1}$

Étape 5.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 10 \frac{1 + {(- 1)}^{1 + 11}}{1 - - 1}$

Étape 5.1.1.2

Additionnez $1$ et $11$ .

$- 10 \frac{1 + {(- 1)}^{12}}{1 - - 1}$

Étape 5.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $12$ .

$- 10 \frac{1 + 1}{1 - - 1}$

Étape 5.1.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 10 \frac{2}{1 - - 1}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 10 \frac{2}{1 + 1}$

Étape 5.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 10 (\frac{2}{2})$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$- 10 (\frac{2}{2})$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$- 10 \cdot 1$

Étape 5.4

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$- 10$