Pré-calcul Exemples

$\sum_{k = 1}^{8} 7 {(\frac{1}{10})}^{k}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{k}$ et $a_{k + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{7 {(\frac{1}{10})}^{k + 1}}{7 {(\frac{1}{10})}^{k}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{7 {(\frac{1}{10})}^{k + 1}}{7 {(\frac{1}{10})}^{k}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{1}{10})}^{k + 1}}{{(\frac{1}{10})}^{k}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à ${(\frac{1}{10})}^{k + 1}$ et ${(\frac{1}{10})}^{k}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez ${(\frac{1}{10})}^{k}$ à partir de ${(\frac{1}{10})}^{k + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{10})}^{k} \frac{1}{10}}{{(\frac{1}{10})}^{k}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{10})}^{k} \frac{1}{10}}{{(\frac{1}{10})}^{k} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(\frac{1}{10})}^{k} \frac{1}{10}}{{(\frac{1}{10})}^{k} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{\frac{1}{10}}{1}$

Étape 2.2.2.2.4

Divisez $\frac{1}{10}$ par $1$ .

$r = \frac{1}{10}$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.1

Remplacez $k$ par $1$ dans $7 {(\frac{1}{10})}^{k}$ .

$a = 7 {(\frac{1}{10})}^{1}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Simplifiez

$a = 7 (\frac{1}{10})$

Étape 3.2.2

Associez $7$ et $\frac{1}{10}$ .

$a = \frac{7}{10}$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{10})}^{8}}{1 - \frac{1}{10}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $10$ .

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Étape 5.1.1

Multipliez $\frac{1 - {(\frac{1}{10})}^{8}}{1 - \frac{1}{10}}$ par $\frac{10}{10}$ .

$\frac{7}{10} (\frac{10}{10} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{10})}^{8}}{1 - \frac{1}{10}})$

Étape 5.1.2

Associez.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 (1 - {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 (1 - \frac{1}{10})}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (- \frac{1}{10})}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{10}$ dans le numérateur.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (\frac{- 1}{10})}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (\frac{- 1}{10})}$

Étape 5.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Multipliez $10$ par $1$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + 10 (- {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{10}$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + 10 (- \frac{1^{8}}{10^{8}})}{10 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.3

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 5.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1^{8}}{10^{8}}$ dans le numérateur.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + 10 \frac{- 1^{8}}{10^{8}}}{10 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.3.2

Factorisez $10$ à partir de $10^{8}$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + 10 \frac{- 1^{8}}{10 \cdot 10^{7}}}{10 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + 10 \frac{- 1^{8}}{10 \cdot 10^{7}}}{10 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + \frac{- 1^{8}}{10^{7}}}{10 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + \frac{- 1 \cdot 1}{10^{7}}}{10 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.5

Élevez $10$ à la puissance $7$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + \frac{- 1 \cdot 1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + \frac{- 1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 - \frac{1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.8

Pour écrire $10$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10000000}{10000000}$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 \cdot \frac{10000000}{10000000} - \frac{1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.9

Associez $10$ et $\frac{10000000}{10000000}$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{10 \cdot 10000000}{10000000} - \frac{1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{10 \cdot 10000000 - 1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.11.1

Multipliez $10$ par $10000000$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{100000000 - 1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.11.2

Soustrayez $1$ de $100000000$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{99999999}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.1

Multipliez $10$ par $1$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{99999999}{10000000}}{10 - 1}$

Étape 5.5.2

Soustrayez $1$ de $10$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{99999999}{10000000}}{9}$

Étape 5.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{7}{10} (\frac{99999999}{10000000} \cdot \frac{1}{9})$

Étape 5.7

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.7.1

Factorisez $9$ à partir de $99999999$ .

$\frac{7}{10} (\frac{9 (11111111)}{10000000} \cdot \frac{1}{9})$

Étape 5.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{7}{10} (\frac{9 \cdot 11111111}{10000000} \cdot \frac{1}{9})$

Étape 5.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{11111111}{10000000}$

Étape 5.8

Multipliez $\frac{7}{10} \cdot \frac{11111111}{10000000}$ .

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Étape 5.8.1

Multipliez $\frac{7}{10}$ par $\frac{11111111}{10000000}$ .

$\frac{7 \cdot 11111111}{10 \cdot 10000000}$

Étape 5.8.2

Multipliez $7$ par $11111111$ .

$\frac{77777777}{10 \cdot 10000000}$

Étape 5.8.3

Multipliez $10$ par $10000000$ .

$\frac{77777777}{100000000}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{77777777}{100000000}$

Forme décimale :

$0.\overline{7}$