Pré-calcul Exemples

$\sum_{k = 1}^{8} - 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{k}$ et $a_{k + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à ${(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}$ et ${(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez ${(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ à partir de ${(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Étape 2.2.2.2.4

Divisez ${(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}$ par $1$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Étape 2.2.3

Additionnez $k$ et $0$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - (k - 1)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - k - - 1}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - k + 1}$

Étape 2.2.5

Soustrayez $k$ de $k$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{0 + 1}$

Étape 2.2.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{1}$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$r = - \frac{3}{5}$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.1

Remplacez $k$ par $1$ dans $- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ .

$a = - 3 {(- \frac{3}{5})}^{1 - 1}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a = - 3 {(- \frac{3}{5})}^{0}$

Étape 3.2.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{5}$ .

$a = - 3 ({(- 1)}^{0} {(\frac{3}{5})}^{0})$

Étape 3.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{5}$ .

$a = - 3 ({(- 1)}^{0} \frac{3^{0}}{5^{0}})$

Étape 3.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = - 3 (1 \frac{3^{0}}{5^{0}})$

Étape 3.2.4

Multipliez $\frac{3^{0}}{5^{0}}$ par $1$ .

$a = - 3 \frac{3^{0}}{5^{0}}$

Étape 3.2.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = - 3 \frac{1}{5^{0}}$

Étape 3.2.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = - 3 (\frac{1}{1})$

Étape 3.2.7

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 3.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$a = - 3 (\frac{1}{1})$

Étape 3.2.7.2

Réécrivez l’expression.

$a = - 3 \cdot 1$

Étape 3.2.8

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$a = - 3$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$- 3 \frac{1 - {(- \frac{3}{5})}^{8}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{5}$ .

$- 3 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} {(\frac{3}{5})}^{8})}{1 - - \frac{3}{5}}$

Étape 5.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{5}$ .

$- 3 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} \frac{3^{8}}{5^{8}})}{1 - - \frac{3}{5}}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{8}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{8}$ .

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot - 1 \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{8}$ par $- 1$ .

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Étape 5.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Étape 5.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8 + 1} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Étape 5.1.2.3

Additionnez $8$ et $1$ .

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Étape 5.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $9$ .

$- 3 \frac{1 - \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Étape 5.1.4

Élevez $3$ à la puissance $8$ .

$- 3 \frac{1 - \frac{6561}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Étape 5.1.5

Élevez $5$ à la puissance $8$ .

$- 3 \frac{1 - \frac{6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Étape 5.1.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- 3 \frac{\frac{390625}{390625} - \frac{6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Étape 5.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 3 \frac{\frac{390625 - 6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Étape 5.1.8

Soustrayez $6561$ de $390625$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- - \frac{3}{5}$ .

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 + 1 (\frac{3}{5})}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $\frac{3}{5}$ par $1$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 + \frac{3}{5}}$

Étape 5.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{5}{5} + \frac{3}{5}}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{5 + 3}{5}}$

Étape 5.2.4

Additionnez $5$ et $3$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{8}{5}}$

Étape 5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- 3 (\frac{384064}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $8$ à partir de $384064$ .

$- 3 (\frac{8 (48008)}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$- 3 (\frac{8 \cdot 48008}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$- 3 (\frac{48008}{390625} \cdot 5)$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $5$ à partir de $390625$ .

$- 3 (\frac{48008}{5 (78125)} \cdot 5)$

Étape 5.5.2

Annulez le facteur commun.

$- 3 (\frac{48008}{5 \cdot 78125} \cdot 5)$

Étape 5.5.3

Réécrivez l’expression.

$- 3 (\frac{48008}{78125})$

Étape 5.6

Multipliez $- 3 (\frac{48008}{78125})$ .

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Étape 5.6.1

Associez $- 3$ et $\frac{48008}{78125}$ .

$\frac{- 3 \cdot 48008}{78125}$

Étape 5.6.2

Multipliez $- 3$ par $48008$ .

$\frac{- 144024}{78125}$

Étape 5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{144024}{78125}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{144024}{78125}$

Forme décimale :

$- 1.8435072$

Forme de nombre mixte :

$- 1 \frac{65899}{78125}$