Pré-calcul Exemples

$\sum_{k = 15}^{46} \frac{3 - 5 k}{4}$

Étape 1

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $k$ égale à $1$ .

$\sum_{k = 15}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} = \sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} - \sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4}$

Étape 2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} = \sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} + \sum_{k = 1}^{46} - \frac{5 k}{4}$

Étape 2.2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 2.2.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(\frac{3}{4}) (46)$

Étape 2.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{3}{2 (2)} \cdot 46$

Étape 2.2.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $46$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 23)$

Étape 2.2.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 23)$

Étape 2.2.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2} \cdot 23$

Étape 2.2.3.2

Associez $\frac{3}{2}$ et $23$ .

$\frac{3 \cdot 23}{2}$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $3$ par $23$ .

$\frac{69}{2}$

Étape 2.3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{46} - \frac{5 k}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Factorisez $- \frac{5}{4}$ dans l’addition.

$(- \frac{5}{4}) \sum_{k = 1}^{46} k$

Étape 2.3.2

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 2.3.3

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- \frac{5}{4}) (\frac{46 (46 + 1)}{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.1.1

Additionnez $46$ et $1$ .

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{46 \cdot 47}{2}$

Étape 2.3.4.1.2

Multipliez $46$ par $47$ .

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{2162}{2}$

Étape 2.3.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{4}$ dans le numérateur.

$\frac{- 5}{4} \cdot \frac{2162}{2}$

Étape 2.3.4.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{- 5}{2 (2)} \cdot \frac{2162}{2}$

Étape 2.3.4.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2162$ .

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 1081}{2}$

Étape 2.3.4.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 1081}{2}$

Étape 2.3.4.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5}{2} \cdot \frac{1081}{2}$

Étape 2.3.4.3

Multipliez $\frac{- 5}{2}$ par $\frac{1081}{2}$ .

$\frac{- 5 \cdot 1081}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.4.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.4.1

Multipliez $- 5$ par $1081$ .

$\frac{- 5405}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.4.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 5405}{4}$

Étape 2.3.4.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5405}{4}$

Étape 2.4

Additionnez les résultats des additions.

$\frac{69}{2} - \frac{5405}{4}$

Étape 2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Pour écrire $\frac{69}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{69}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5405}{4}$

Étape 2.5.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Multipliez $\frac{69}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{69 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{5405}{4}$

Étape 2.5.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{69 \cdot 2}{4} - \frac{5405}{4}$

Étape 2.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{69 \cdot 2 - 5405}{4}$

Étape 2.5.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.1

Multipliez $69$ par $2$ .

$\frac{138 - 5405}{4}$

Étape 2.5.4.2

Soustrayez $5405$ de $138$ .

$\frac{- 5267}{4}$

Étape 2.5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5267}{4}$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} = \sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} + \sum_{k = 1}^{14} - \frac{5 k}{4}$

Étape 3.2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 3.2.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(\frac{3}{4}) (14)$

Étape 3.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{3}{2 (2)} \cdot 14$

Étape 3.2.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 7)$

Étape 3.2.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 7)$

Étape 3.2.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2} \cdot 7$

Étape 3.2.3.2

Associez $\frac{3}{2}$ et $7$ .

$\frac{3 \cdot 7}{2}$

Étape 3.2.3.3

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{21}{2}$

Étape 3.3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{14} - \frac{5 k}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Factorisez $- \frac{5}{4}$ dans l’addition.

$(- \frac{5}{4}) \sum_{k = 1}^{14} k$

Étape 3.3.2

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 3.3.3

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- \frac{5}{4}) (\frac{14 (14 + 1)}{2})$

Étape 3.3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.1.1

Additionnez $14$ et $1$ .

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{14 \cdot 15}{2}$

Étape 3.3.4.1.2

Multipliez $14$ par $15$ .

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{210}{2}$

Étape 3.3.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{4}$ dans le numérateur.

$\frac{- 5}{4} \cdot \frac{210}{2}$

Étape 3.3.4.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{- 5}{2 (2)} \cdot \frac{210}{2}$

Étape 3.3.4.2.3

Factorisez $2$ à partir de $210$ .

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 105}{2}$

Étape 3.3.4.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 105}{2}$

Étape 3.3.4.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5}{2} \cdot \frac{105}{2}$

Étape 3.3.4.3

Multipliez $\frac{- 5}{2}$ par $\frac{105}{2}$ .

$\frac{- 5 \cdot 105}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.4.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.4.1

Multipliez $- 5$ par $105$ .

$\frac{- 525}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.4.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 525}{4}$

Étape 3.3.4.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{525}{4}$

Étape 3.4

Additionnez les résultats des additions.

$\frac{21}{2} - \frac{525}{4}$

Étape 3.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Pour écrire $\frac{21}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{21}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{525}{4}$

Étape 3.5.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Multipliez $\frac{21}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{21 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{525}{4}$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{21 \cdot 2}{4} - \frac{525}{4}$

Étape 3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{21 \cdot 2 - 525}{4}$

Étape 3.5.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.1

Multipliez $21$ par $2$ .

$\frac{42 - 525}{4}$

Étape 3.5.4.2

Soustrayez $525$ de $42$ .

$\frac{- 483}{4}$

Étape 3.5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{483}{4}$

Étape 4

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$- \frac{5267}{4} + \frac{483}{4}$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 5267 + 483}{4}$

Étape 5.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Additionnez $- 5267$ et $483$ .

$\frac{- 4784}{4}$

Étape 5.2.2

Divisez $- 4784$ par $4$ .

$- 1196$