Pré-calcul Exemples

$\sum_{n = 1}^{31} 300 + {(n - 1)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez ${(n - 1)}^{2}$ comme $(n - 1) (n - 1)$ .

$300 + (n - 1) (n - 1)$

Étape 1.1.2

Développez $(n - 1) (n - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$300 + n (n - 1) - 1 (n - 1)$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$300 + n \cdot n + n \cdot - 1 - 1 (n - 1)$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$300 + n \cdot n + n \cdot - 1 - 1 n - 1 \cdot - 1$

Étape 1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Multipliez $n$ par $n$ .

$300 + n^{2} + n \cdot - 1 - 1 n - 1 \cdot - 1$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $n$ .

$300 + n^{2} - 1 \cdot n - 1 n - 1 \cdot - 1$

Étape 1.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 n$ comme $- n$ .

$300 + n^{2} - n - 1 n - 1 \cdot - 1$

Étape 1.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 n$ comme $- n$ .

$300 + n^{2} - n - n - 1 \cdot - 1$

Étape 1.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$300 + n^{2} - n - n + 1$

Étape 1.1.3.2

Soustrayez $n$ de $- n$ .

$300 + n^{2} - 2 n + 1$

Étape 1.2

Additionnez $300$ et $1$ .

$n^{2} - 2 n + 301$

Étape 1.3

Réécrivez l’addition.

$\sum_{n = 1}^{31} n^{2} - 2 n + 301$

Étape 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{n = 1}^{31} n^{2} - 2 n + 301 = \sum_{n = 1}^{31} n^{2} - 2 \sum_{n = 1}^{31} n + \sum_{n = 1}^{31} 301$

Étape 3

Évaluez $\sum_{n = 1}^{31} n^{2}$ .

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Étape 3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$\frac{31 (31 + 1) (2 \cdot 31 + 1)}{6}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.1

Additionnez $31$ et $1$ .

$\frac{31 \cdot 32 (2 \cdot 31 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.2

Associez les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Multipliez $31$ par $32$ .

$\frac{992 (2 \cdot 31 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $31$ .

$\frac{992 (62 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.3

Additionnez $62$ et $1$ .

$\frac{992 \cdot 63}{6}$

Étape 3.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $992$ par $63$ .

$\frac{62496}{6}$

Étape 3.3.2.2

Divisez $62496$ par $6$ .

$10416$

Étape 4

Évaluez $2 \sum_{n = 1}^{31} n$ .

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Étape 4.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- 2) (\frac{31 (31 + 1)}{2})$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1.1

Additionnez $31$ et $1$ .

$- 2 \frac{31 \cdot 32}{2}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $31$ par $32$ .

$- 2 (\frac{992}{2})$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{992}{2}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{992}{2}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 992$

Étape 4.3.3

Multipliez $- 1$ par $992$ .

$- 992$

Étape 5

Évaluez $\sum_{n = 1}^{31} 301$ .

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Étape 5.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(301) (31)$

Étape 5.3

Multipliez $301$ par $31$ .

$9331$

Étape 6

Additionnez les résultats des additions.

$10416 - 992 + 9331$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Soustrayez $992$ de $10416$ .

$9424 + 9331$

Étape 7.2

Additionnez $9424$ et $9331$ .

$18755$