Pré-calcul Exemples

$\sum_{n = 0}^{8} 8 {(0.5)}^{n}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{n}$ et $a_{n + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{8 \cdot {0.5}^{n + 1}}{8 \cdot {0.5}^{n}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{8 \cdot {0.5}^{n + 1}}{8 \cdot {0.5}^{n}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{0.5}^{n + 1}}{{0.5}^{n}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à ${0.5}^{n + 1}$ et ${0.5}^{n}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez ${0.5}^{n}$ à partir de ${0.5}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{0.5}^{n} \cdot 0.5}{{0.5}^{n}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{0.5}^{n} \cdot 0.5}{{0.5}^{n} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{0.5}^{n} \cdot 0.5}{{0.5}^{n} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{0.5}{1}$

Étape 2.2.2.2.4

Divisez $0.5$ par $1$ .

$r = 0.5$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.1

Remplacez $n$ par $0$ dans $8 {(0.5)}^{n}$ .

$a = 8 \cdot {0.5}^{0}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 8 \cdot 1$

Étape 3.2.2

Multipliez $8$ par $1$ .

$a = 8$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$8 \frac{1 - {0.5}^{9}}{1 - 1 \cdot 0.5}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $0.5$ à la puissance $9$ .

$8 \frac{1 - 1 \cdot 0.00195312}{1 - 1 \cdot 0.5}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par $0.00195312$ .

$8 \frac{1 - 0.00195312}{1 - 1 \cdot 0.5}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $0.00195312$ de $1$ .

$8 \frac{0.99804687}{1 - 1 \cdot 0.5}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $0.5$ .

$8 \frac{0.99804687}{1 - 0.5}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $0.5$ de $1$ .

$8 (\frac{0.99804687}{0.5})$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $0.5$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $0.5$ à partir de $8$ .

$0.5 (16) \frac{0.99804687}{0.5}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun.

$0.5 \cdot 16 \frac{0.99804687}{0.5}$

Étape 5.3.3

Réécrivez l’expression.

$16 \cdot 0.99804687$

Étape 5.4

Multipliez $16$ par $0.99804687$ .

$15.96875$