Pré-calcul Exemples

$\sum_{n = 0}^{23} 2 + \frac{1}{2} n$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $n$ .

$2 + \frac{n}{2}$

Étape 1.2

Réécrivez l’addition.

$\sum_{n = 0}^{23} 2 + \frac{n}{2}$

Étape 2

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $n$ égale à $1$ .

$\sum_{n = 0}^{23} 2 + \frac{n}{2} = \sum_{n = 1}^{23} 2 + \frac{n}{2} + \sum_{n = 0}^{0} 2 + \frac{n}{2}$

Étape 3

Évaluez $\sum_{n = 1}^{23} 2 + \frac{n}{2}$ .

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Étape 3.1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{n = 1}^{23} 2 + \frac{n}{2} = \sum_{n = 1}^{23} 2 + \sum_{n = 1}^{23} \frac{n}{2}$

Étape 3.2

Évaluez $\sum_{n = 1}^{23} 2$ .

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Étape 3.2.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 3.2.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(2) (23)$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $23$ .

$46$

Étape 3.3

Évaluez $\sum_{n = 1}^{23} \frac{n}{2}$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $\frac{1}{2}$ dans l’addition.

$(\frac{1}{2}) \sum_{n = 1}^{23} n$

Étape 3.3.2

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 3.3.3

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(\frac{1}{2}) (\frac{23 (23 + 1)}{2})$

Étape 3.3.4

Simplifiez

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Étape 3.3.4.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.4.1.1

Additionnez $23$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{23 \cdot 24}{2}$

Étape 3.3.4.1.2

Multipliez $23$ par $24$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{552}{2}$

Étape 3.3.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $552$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (276)}{2}$

Étape 3.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 276}{2}$

Étape 3.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{276}{2}$

Étape 3.3.4.3

Divisez $276$ par $2$ .

$138$

Étape 3.4

Additionnez les résultats des additions.

$46 + 138$

Étape 3.5

Additionnez $46$ et $138$ .

$184$

Étape 4

Évaluez $\sum_{n = 0}^{0} 2 + \frac{n}{2}$ .

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Étape 4.1

Développez la série pour chaque valeur de $n$ .

$2 + \frac{0}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Divisez $0$ par $2$ .

$2 + 0$

Étape 4.2.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 5

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$184 + 2$

Étape 6

Additionnez $184$ et $2$ .

$186$