Pré-calcul Exemples

$\sum_{n = 1}^{15} {(\frac{6}{13})}^{n}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{n}$ et $a_{n + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{{(\frac{6}{13})}^{n + 1}}{{(\frac{6}{13})}^{n}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun à ${(\frac{6}{13})}^{n + 1}$ et ${(\frac{6}{13})}^{n}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez ${(\frac{6}{13})}^{n}$ à partir de ${(\frac{6}{13})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{6}{13})}^{n} \frac{6}{13}}{{(\frac{6}{13})}^{n}}$

Étape 2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(\frac{6}{13})}^{n} \frac{6}{13}}{{(\frac{6}{13})}^{n} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(\frac{6}{13})}^{n} \frac{6}{13}}{{(\frac{6}{13})}^{n} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{\frac{6}{13}}{1}$

Étape 2.2.2.4

Divisez $\frac{6}{13}$ par $1$ .

$r = \frac{6}{13}$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.1

Remplacez $n$ par $1$ dans ${(\frac{6}{13})}^{n}$ .

$a = {(\frac{6}{13})}^{1}$

Étape 3.2

Simplifiez

$a = \frac{6}{13}$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{1 - {(\frac{6}{13})}^{15}}{1 - \frac{6}{13}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $13$ .

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Étape 5.1.1

Multipliez $\frac{1 - {(\frac{6}{13})}^{15}}{1 - \frac{6}{13}}$ par $\frac{13}{13}$ .

$\frac{6}{13} (\frac{13}{13} \cdot \frac{1 - {(\frac{6}{13})}^{15}}{1 - \frac{6}{13}})$

Étape 5.1.2

Associez.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 (1 - {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 (1 - \frac{6}{13})}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 \cdot 1 + 13 (- {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 \cdot 1 + 13 (- \frac{6}{13})}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $13$ .

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Étape 5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{6}{13}$ dans le numérateur.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 \cdot 1 + 13 (- {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 \cdot 1 + 13 (\frac{- 6}{13})}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 \cdot 1 + 13 (- {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 \cdot 1 + 13 (\frac{- 6}{13})}$

Étape 5.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 \cdot 1 + 13 (- {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 \cdot 1 - 6}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Multipliez $13$ par $1$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + 13 (- {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 \cdot 1 - 6}$

Étape 5.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{6}{13}$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + 13 (- \frac{6^{15}}{13^{15}})}{13 \cdot 1 - 6}$

Étape 5.4.3

Annulez le facteur commun de $13$ .

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Étape 5.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{6^{15}}{13^{15}}$ dans le numérateur.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + 13 \frac{- 6^{15}}{13^{15}}}{13 \cdot 1 - 6}$

Étape 5.4.3.2

Factorisez $13$ à partir de $13^{15}$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + 13 \frac{- 6^{15}}{13 \cdot 13^{14}}}{13 \cdot 1 - 6}$

Étape 5.4.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + 13 \frac{- 6^{15}}{13 \cdot 13^{14}}}{13 \cdot 1 - 6}$

Étape 5.4.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{- 6^{15}}{13^{14}}}{13 \cdot 1 - 6}$

Étape 5.4.4

Élevez $6$ à la puissance $15$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{- 1 \cdot 470184984576}{13^{14}}}{13 \cdot 1 - 6}$

Étape 5.4.5

Élevez $13$ à la puissance $14$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{- 1 \cdot 470184984576}{3937376385699290}}{13 \cdot 1 - 6}$

Étape 5.4.6

Multipliez $- 1$ par $470184984576$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{- 470184984576}{3937376385699290}}{13 \cdot 1 - 6}$

Étape 5.4.7

Annulez le facteur commun à $- 470184984576$ et $3937376385699290$ .

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Étape 5.4.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 470184984576$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{2 (- 235092492288)}{3937376385699290}}{13 \cdot 1 - 6}$

Étape 5.4.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $3937376385699290$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{2 \cdot - 235092492288}{2 \cdot 1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Étape 5.4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{2 \cdot - 235092492288}{2 \cdot 1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Étape 5.4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{- 235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Étape 5.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 - \frac{235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Étape 5.4.9

Pour écrire $13$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1968688192849645}{1968688192849645}$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 \cdot \frac{1968688192849645}{1968688192849645} - \frac{235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Étape 5.4.10

Associez $13$ et $\frac{1968688192849645}{1968688192849645}$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{13 \cdot 1968688192849645}{1968688192849645} - \frac{235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Étape 5.4.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{13 \cdot 1968688192849645 - 235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Étape 5.4.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.12.1

Multipliez $13$ par $1968688192849645$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{25592946507045385 - 235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Étape 5.4.12.2

Soustrayez $235092492288$ de $25592946507045385$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{25592711414553097}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Étape 5.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.1

Multipliez $13$ par $1$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{25592711414553097}{1968688192849645}}{13 - 6}$

Étape 5.5.2

Soustrayez $6$ de $13$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{25592711414553097}{1968688192849645}}{7}$

Étape 5.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{6}{13} (\frac{25592711414553097}{1968688192849645} \cdot \frac{1}{7})$

Étape 5.7

Multipliez $\frac{25592711414553097}{1968688192849645} \cdot \frac{1}{7}$ .

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Étape 5.7.1

Multipliez $\frac{25592711414553097}{1968688192849645}$ par $\frac{1}{7}$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{25592711414553097}{1968688192849645 \cdot 7}$

Étape 5.7.2

Multipliez $1968688192849645$ par $7$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{25592711414553097}{13780817349947515}$

Étape 5.8

Multipliez $\frac{6}{13} \cdot \frac{25592711414553097}{13780817349947515}$ .

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Étape 5.8.1

Multipliez $\frac{6}{13}$ par $\frac{25592711414553097}{13780817349947515}$ .

$\frac{6 \cdot 25592711414553097}{13 \cdot 13780817349947515}$

Étape 5.8.2

Multipliez $6$ par $25592711414553097$ .

$\frac{153556268487318582}{13 \cdot 13780817349947515}$

Étape 5.8.3

Multipliez $13$ par $13780817349947515$ .

$\frac{153556268487318582}{179150625549317695}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{153556268487318582}{179150625549317695}$

Forme décimale :

$0.85713498 \dots$