Pré-calcul Exemples

$\sum_{n = 1}^{108} {(- 1)}^{n}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{n}$ et $a_{n + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{{(- 1)}^{n}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun à ${(- 1)}^{n + 1}$ et ${(- 1)}^{n}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez ${(- 1)}^{n}$ à partir de ${(- 1)}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot - 1}{{(- 1)}^{n}}$

Étape 2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot - 1}{{(- 1)}^{n} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot - 1}{{(- 1)}^{n} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{- 1}{1}$

Étape 2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$r = - 1$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.1

Remplacez $n$ par $1$ dans ${(- 1)}^{n}$ .

$a = {(- 1)}^{1}$

Étape 3.2

Évaluez l’exposant.

$a = - 1$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$- \frac{1 - {(- 1)}^{108}}{1 - - 1}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{108}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{108}$ .

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Étape 5.1.1.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{108}}{1 - - 1}$

Étape 5.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1 + {(- 1)}^{1 + 108}}{1 - - 1}$

Étape 5.1.1.2

Additionnez $1$ et $108$ .

$- \frac{1 + {(- 1)}^{109}}{1 - - 1}$

Étape 5.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $109$ .

$- \frac{1 - 1}{1 - - 1}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$- \frac{0}{1 - - 1}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{0}{1 + 1}$

Étape 5.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{0}{2}$

Étape 5.3

Divisez $0$ par $2$ .

$- 0$

Étape 5.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0$