Pré-calcul Exemples

$\sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4} + {(- 3)}^{k - 1}$

Étape 1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4} + {(- 3)}^{k - 1} = \sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4} + \sum_{k = 1}^{11} {(- 3)}^{k - 1}$

Étape 2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4}$ .

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Étape 2.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(\frac{1}{4}) (11)$

Étape 2.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $11$ .

$\frac{11}{4}$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{11} {(- 3)}^{k - 1}$ .

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Étape 3.1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 3.2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ et en simplifiant.

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Étape 3.2.1

Remplacez $a_{k}$ et $a_{k + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{k + 1 - 1}}{{(- 3)}^{k - 1}}$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun à ${(- 3)}^{k + 1 - 1}$ et ${(- 3)}^{k - 1}$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Factorisez ${(- 3)}^{k - 1}$ à partir de ${(- 3)}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{k - 1} {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 3)}^{k - 1}}$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{k - 1} {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 3)}^{k - 1} \cdot 1}$

Étape 3.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(- 3)}^{k - 1} {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 3)}^{k - 1} \cdot 1}$

Étape 3.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Étape 3.2.2.1.2.4

Divisez ${(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}$ par $1$ .

$r = {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $k$ et $0$ .

$r = {(- 3)}^{k - (k - 1)}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = {(- 3)}^{k - k - - 1}$

Étape 3.2.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r = {(- 3)}^{k - k + 1}$

Étape 3.2.2.4

Soustrayez $k$ de $k$ .

$r = {(- 3)}^{0 + 1}$

Étape 3.2.2.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$r = {(- 3)}^{1}$

Étape 3.2.2.6

Évaluez l’exposant.

$r = - 3$

Étape 3.3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.3.1

Remplacez $k$ par $1$ dans ${(- 3)}^{k - 1}$ .

$a = {(- 3)}^{1 - 1}$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a = {(- 3)}^{0}$

Étape 3.3.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 1$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$1 \frac{1 - {(- 3)}^{11}}{1 - - 3}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Multipliez $\frac{1 - {(- 3)}^{11}}{1 - - 3}$ par $1$ .

$\frac{1 - {(- 3)}^{11}}{1 - - 3}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $11$ .

$\frac{1 - - 177147}{1 - - 3}$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 177147$ .

$\frac{1 + 177147}{1 - - 3}$

Étape 3.5.2.3

Additionnez $1$ et $177147$ .

$\frac{177148}{1 - - 3}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{177148}{1 + 3}$

Étape 3.5.3.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{177148}{4}$

Étape 3.5.4

Divisez $177148$ par $4$ .

$44287$

Étape 4

Additionnez les résultats des additions.

$\frac{11}{4} + 44287$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Pour écrire $44287$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{11}{4} + 44287 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 5.2

Associez $44287$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{11}{4} + \frac{44287 \cdot 4}{4}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{11 + 44287 \cdot 4}{4}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Multipliez $44287$ par $4$ .

$\frac{11 + 177148}{4}$

Étape 5.4.2

Additionnez $11$ et $177148$ .

$\frac{177159}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{177159}{4}$

Forme décimale :

$44289.75$

Forme de nombre mixte :

$44289 \frac{3}{4}$