Pré-calcul Exemples

$\sum_{k = 1}^{100} 9 + {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$

Étape 1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{100} 9 + {(\frac{1}{2})}^{k - 1} = \sum_{k = 1}^{100} 9 + \sum_{k = 1}^{100} {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$

Étape 2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{100} 9$ .

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Étape 2.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(9) (100)$

Étape 2.3

Multipliez $9$ par $100$ .

$900$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{100} {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ .

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Étape 3.1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 3.2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ et en simplifiant.

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Étape 3.2.1

Remplacez $a_{k}$ et $a_{k + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1}}$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun à ${(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}$ et ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Factorisez ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ à partir de ${(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1}}$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} \cdot 1}$

Étape 3.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} \cdot 1}$

Étape 3.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Étape 3.2.2.1.2.4

Divisez ${(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}$ par $1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $k$ et $0$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - (k - 1)}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - k - - 1}$

Étape 3.2.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - k + 1}$

Étape 3.2.2.4

Soustrayez $k$ de $k$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{0 + 1}$

Étape 3.2.2.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{1}$

Étape 3.2.2.6

Simplifiez

$r = \frac{1}{2}$

Étape 3.3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.3.1

Remplacez $k$ par $1$ dans ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ .

$a = {(\frac{1}{2})}^{1 - 1}$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a = {(\frac{1}{2})}^{0}$

Étape 3.3.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$a = \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Étape 3.3.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = \frac{1}{2^{0}}$

Étape 3.3.2.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Étape 3.3.2.5

Divisez $1$ par $1$ .

$a = 1$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Multipliez $\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

Étape 3.5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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Étape 3.5.2.1

Multipliez $\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

Étape 3.5.2.2

Associez.

$\frac{2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 (1 - \frac{1}{2})}$

Étape 3.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{1}{2})}$

Étape 3.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Étape 3.5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Étape 3.5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.5.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 + 2 (- \frac{1^{100}}{2^{100}})}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1^{100}}{2^{100}}$ dans le numérateur.

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2^{100}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2^{100}$ .

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2 \cdot 2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2 \cdot 2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 + \frac{- 1^{100}}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 + \frac{- 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.7

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$\frac{2 \cdot \frac{2^{99}}{2^{99}} - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.8

Associez $2$ et $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2^{99}}{2^{99}} - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 \cdot 2^{99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.10

Multipliez $2$ par $2^{99}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.5.10.1

Multipliez $2$ par $2^{99}$ .

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Étape 3.5.5.10.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{2^{1} \cdot 2^{99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.10.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{2^{1 + 99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.10.2

Additionnez $1$ et $99$ .

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.6.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{2 - 1}$

Étape 3.5.6.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{1}$

Étape 3.5.7

Divisez $\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$ par $1$ .

$\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

Étape 4

Additionnez les résultats des additions.

$900 + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Pour écrire $900$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$900 \cdot \frac{2^{99}}{2^{99}} + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

Étape 5.2

Associez $900$ et $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$\frac{900 \cdot 2^{99}}{2^{99}} + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{900 \cdot 2^{99} + 2^{100} - 1}{2^{99}}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{900 \cdot 2^{99} + 2^{100} - 1}{2^{99}}$

Forme décimale :

$902$