Pré-calcul Exemples

$\sum_{k = 1}^{10} 1 + {(- 1)}^{k}$

Étape 1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{10} 1 + {(- 1)}^{k} = \sum_{k = 1}^{10} 1 + \sum_{k = 1}^{10} {(- 1)}^{k}$

Étape 2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{10} 1$ .

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Étape 2.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(1) (10)$

Étape 2.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$10$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{10} {(- 1)}^{k}$ .

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Étape 3.1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 3.2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ et en simplifiant.

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Étape 3.2.1

Remplacez $a_{k}$ et $a_{k + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{{(- 1)}^{k}}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun à ${(- 1)}^{k + 1}$ et ${(- 1)}^{k}$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez ${(- 1)}^{k}$ à partir de ${(- 1)}^{k + 1}$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k} \cdot - 1}{{(- 1)}^{k}}$

Étape 3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k} \cdot - 1}{{(- 1)}^{k} \cdot 1}$

Étape 3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(- 1)}^{k} \cdot - 1}{{(- 1)}^{k} \cdot 1}$

Étape 3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{- 1}{1}$

Étape 3.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$r = - 1$

Étape 3.3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.3.1

Remplacez $k$ par $1$ dans ${(- 1)}^{k}$ .

$a = {(- 1)}^{1}$

Étape 3.3.2

Évaluez l’exposant.

$a = - 1$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$- \frac{1 - {(- 1)}^{10}}{1 - - 1}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{10}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.1.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{10}$ .

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Étape 3.5.1.1.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{10}}{1 - - 1}$

Étape 3.5.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1 + {(- 1)}^{1 + 10}}{1 - - 1}$

Étape 3.5.1.1.2

Additionnez $1$ et $10$ .

$- \frac{1 + {(- 1)}^{11}}{1 - - 1}$

Étape 3.5.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $11$ .

$- \frac{1 - 1}{1 - - 1}$

Étape 3.5.1.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$- \frac{0}{1 - - 1}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{0}{1 + 1}$

Étape 3.5.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{0}{2}$

Étape 3.5.3

Divisez $0$ par $2$ .

$- 0$

Étape 3.5.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0$

Étape 4

Additionnez les résultats des additions.

$10 + 0$

Étape 5

Additionnez $10$ et $0$ .

$10$