Pré-calcul Exemples

$\sum_{k = 1}^{6} 5 {(\frac{9}{4})}^{k - 1}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{k}$ et $a_{k + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{5 {(\frac{9}{4})}^{k + 1 - 1}}{5 {(\frac{9}{4})}^{k - 1}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{5 {(\frac{9}{4})}^{k + 1 - 1}}{5 {(\frac{9}{4})}^{k - 1}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{9}{4})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{9}{4})}^{k - 1}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à ${(\frac{9}{4})}^{k + 1 - 1}$ et ${(\frac{9}{4})}^{k - 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez ${(\frac{9}{4})}^{k - 1}$ à partir de ${(\frac{9}{4})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{9}{4})}^{k - 1} {(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{9}{4})}^{k - 1}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(\frac{9}{4})}^{k - 1} {(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{9}{4})}^{k - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(\frac{9}{4})}^{k - 1} {(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{9}{4})}^{k - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Étape 2.2.2.2.4

Divisez ${(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}$ par $1$ .

$r = {(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Étape 2.2.3

Additionnez $k$ et $0$ .

$r = {(\frac{9}{4})}^{k - (k - 1)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = {(\frac{9}{4})}^{k - k - - 1}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r = {(\frac{9}{4})}^{k - k + 1}$

Étape 2.2.5

Soustrayez $k$ de $k$ .

$r = {(\frac{9}{4})}^{0 + 1}$

Étape 2.2.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$r = {(\frac{9}{4})}^{1}$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$r = \frac{9}{4}$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.1

Remplacez $k$ par $1$ dans $5 {(\frac{9}{4})}^{k - 1}$ .

$a = 5 {(\frac{9}{4})}^{1 - 1}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a = 5 {(\frac{9}{4})}^{0}$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{9}{4}$ .

$a = 5 \frac{9^{0}}{4^{0}}$

Étape 3.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 5 \frac{1}{4^{0}}$

Étape 3.2.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Étape 3.2.5

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 3.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Étape 3.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$a = 5 \cdot 1$

Étape 3.2.6

Multipliez $5$ par $1$ .

$a = 5$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$5 \frac{1 - {(\frac{9}{4})}^{6}}{1 - \frac{9}{4}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $4$ .

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Étape 5.1.1

Multipliez $\frac{1 - {(\frac{9}{4})}^{6}}{1 - \frac{9}{4}}$ par $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{4}{4} \cdot \frac{1 - {(\frac{9}{4})}^{6}}{1 - \frac{9}{4}})$

Étape 5.1.2

Associez.

$5 \frac{4 (1 - {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 (1 - \frac{9}{4})}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (- \frac{9}{4})}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{9}{4}$ dans le numérateur.

$5 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 9}{4})}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 9}{4})}$

Étape 5.3.3

Réécrivez l’expression.

$5 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 9}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$5 \frac{4 + 4 (- {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 9}$

Étape 5.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{9}{4}$ .

$5 \frac{4 + 4 (- \frac{9^{6}}{4^{6}})}{4 \cdot 1 - 9}$

Étape 5.4.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{9^{6}}{4^{6}}$ dans le numérateur.

$5 \frac{4 + 4 \frac{- 9^{6}}{4^{6}}}{4 \cdot 1 - 9}$

Étape 5.4.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4^{6}$ .

$5 \frac{4 + 4 \frac{- 9^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 9}$

Étape 5.4.3.3

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{4 + 4 \frac{- 9^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 9}$

Étape 5.4.3.4

Réécrivez l’expression.

$5 \frac{4 + \frac{- 9^{6}}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 9}$

Étape 5.4.4

Élevez $9$ à la puissance $6$ .

$5 \frac{4 + \frac{- 1 \cdot 531441}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 9}$

Étape 5.4.5

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$5 \frac{4 + \frac{- 1 \cdot 531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Étape 5.4.6

Multipliez $- 1$ par $531441$ .

$5 \frac{4 + \frac{- 531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Étape 5.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 \frac{4 - \frac{531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Étape 5.4.8

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1024}{1024}$ .

$5 \frac{4 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Étape 5.4.9

Associez $4$ et $\frac{1024}{1024}$ .

$5 \frac{\frac{4 \cdot 1024}{1024} - \frac{531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Étape 5.4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 \frac{\frac{4 \cdot 1024 - 531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Étape 5.4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.11.1

Multipliez $4$ par $1024$ .

$5 \frac{\frac{4096 - 531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Étape 5.4.11.2

Soustrayez $531441$ de $4096$ .

$5 \frac{\frac{- 527345}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Étape 5.4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 \frac{- \frac{527345}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Étape 5.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$5 \frac{- \frac{527345}{1024}}{4 - 9}$

Étape 5.5.2

Soustrayez $9$ de $4$ .

$5 \frac{- \frac{527345}{1024}}{- 5}$

Étape 5.6

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$5 \frac{- \frac{527345}{1024}}{5 (- 1)}$

Étape 5.6.2

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{- \frac{527345}{1024}}{5 \cdot - 1}$

Étape 5.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \frac{527345}{1024}}{- 1}$

Étape 5.7

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{527345}{1024}}{1}$

Étape 5.8

Divisez $\frac{527345}{1024}$ par $1$ .

$\frac{527345}{1024}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{527345}{1024}$

Forme décimale :

$514.98535156 \dots$

Forme de nombre mixte :

$514 \frac{1009}{1024}$