Pré-calcul Exemples

$\sum_{k = 1}^{200} {(2 k - 3)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(2 k - 3)}^{2}$ comme $(2 k - 3) (2 k - 3)$ .

$(2 k - 3) (2 k - 3)$

Étape 1.2

Développez $(2 k - 3) (2 k - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 k (2 k - 3) - 3 (2 k - 3)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k - 3)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $k$ par $k$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.2.1

Déplacez $k$ .

$2 \cdot 2 (k \cdot k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Étape 1.3.1.2.2

Multipliez $k$ par $k$ .

$2 \cdot 2 k^{2} + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 k^{2} + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$4 k^{2} - 6 k - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$4 k^{2} - 6 k - 6 k - 3 \cdot - 3$

Étape 1.3.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$4 k^{2} - 6 k - 6 k + 9$

Étape 1.3.2

Soustrayez $6 k$ de $- 6 k$ .

$4 k^{2} - 12 k + 9$

Étape 1.4

Réécrivez l’addition.

$\sum_{k = 1}^{200} 4 k^{2} - 12 k + 9$

Étape 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{200} 4 k^{2} - 12 k + 9 = 4 \sum_{k = 1}^{200} k^{2} - 12 \sum_{k = 1}^{200} k + \sum_{k = 1}^{200} 9$

Étape 3

Évaluez $4 \sum_{k = 1}^{200} k^{2}$ .

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Étape 3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(4) (\frac{200 (200 + 1) (2 \cdot 200 + 1)}{6})$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.1

Additionnez $200$ et $1$ .

$4 \frac{200 \cdot 201 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.2

Associez les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Multipliez $200$ par $201$ .

$4 \frac{40200 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $200$ .

$4 \frac{40200 (400 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.3

Additionnez $400$ et $1$ .

$4 \frac{40200 \cdot 401}{6}$

Étape 3.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $40200$ par $401$ .

$4 (\frac{16120200}{6})$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (2) \frac{16120200}{6}$

Étape 3.3.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 \cdot 2 \frac{16120200}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 2 \frac{16120200}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{16120200}{3})$

Étape 3.3.2.3

Associez $2$ et $\frac{16120200}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16120200}{3}$

Étape 3.3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.4.1

Multipliez $2$ par $16120200$ .

$\frac{32240400}{3}$

Étape 3.3.2.4.2

Divisez $32240400$ par $3$ .

$10746800$

Étape 4

Évaluez $12 \sum_{k = 1}^{200} k$ .

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Étape 4.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- 12) (\frac{200 (200 + 1)}{2})$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1.1

Additionnez $200$ et $1$ .

$- 12 \frac{200 \cdot 201}{2}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $200$ par $201$ .

$- 12 (\frac{40200}{2})$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 12$ .

$2 (- 6) \frac{40200}{2}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 6 \frac{40200}{2}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 6 \cdot 40200$

Étape 4.3.3

Multipliez $- 6$ par $40200$ .

$- 241200$

Étape 5

Évaluez $\sum_{k = 1}^{200} 9$ .

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Étape 5.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(9) (200)$

Étape 5.3

Multipliez $9$ par $200$ .

$1800$

Étape 6

Additionnez les résultats des additions.

$10746800 - 241200 + 1800$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Soustrayez $241200$ de $10746800$ .

$10505600 + 1800$

Étape 7.2

Additionnez $10505600$ et $1800$ .

$10507400$