Pré-calcul Exemples

$\sum_{k = 1}^{\infty} 3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique infinie peut être déterminée en utilisant la formule $\frac{a}{1 - r}$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{k}$ et $a_{k + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ et ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ à partir de ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Étape 2.2.2.2.4

Divisez ${(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ par $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Étape 2.2.3

Additionnez $k$ et $0$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - (k - 1)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k - - 1}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k + 1}$

Étape 2.2.5

Soustrayez $k$ de $k$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

Étape 2.2.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$r = \frac{2}{3}$

Étape 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Étape 4

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 4.1

Remplacez $k$ par $1$ dans $3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

$a = 3 {(\frac{2}{3})}^{1 - 1}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a = 3 {(\frac{2}{3})}^{0}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$a = 3 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

Étape 4.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 3 \frac{1}{3^{0}}$

Étape 4.2.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 3 (\frac{1}{1})$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$a = 3 (\frac{1}{1})$

Étape 4.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$a = 3 \cdot 1$

Étape 4.2.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$a = 3$

Étape 5

Remplacez les valeurs du rapport et du premier terme dans la formule de l’addition.

$\frac{3}{1 - \frac{2}{3}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

Étape 6.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{\frac{3 - 2}{3}}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{3}{\frac{1}{3}}$

Étape 6.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$3 \cdot 3$

Étape 6.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$9$