Pré-calcul Exemples

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{7}{8^{k}}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique infinie peut être déterminée en utilisant la formule $\frac{a}{1 - r}$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{k}$ et $a_{k + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{\frac{7}{8^{k + 1}}}{\frac{7}{8^{k}}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$r = \frac{7}{8^{k + 1}} \cdot \frac{8^{k}}{7}$

Étape 2.2.2

Associez.

$r = \frac{7 \cdot 8^{k}}{8^{k + 1} \cdot 7}$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{7 \cdot 8^{k}}{8^{k + 1} \cdot 7}$

Étape 2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{8^{k}}{8^{k + 1}}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun à $8^{k}$ et $8^{k + 1}$ .

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Étape 2.2.4.1

Factorisez $8^{k + 1}$ à partir de $8^{k}$ .

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1}}$

Étape 2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{8^{k - (k + 1)}}{1}$

Étape 2.2.4.2.4

Divisez $8^{k - (k + 1)}$ par $1$ .

$r = 8^{k - (k + 1)}$

Étape 2.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = 8^{k - k - 1 \cdot 1}$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$r = 8^{k - k - 1}$

Étape 2.2.6

Soustrayez $k$ de $k$ .

$r = 8^{0 - 1}$

Étape 2.2.7

Soustrayez $1$ de $0$ .

$r = 8^{- 1}$

Étape 2.2.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{8}$

Étape 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Étape 4

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 4.1

Remplacez $k$ par $1$ dans $\frac{7}{8^{k}}$ .

$a = \frac{7}{8^{1}}$

Étape 4.2

Évaluez l’exposant.

$a = \frac{7}{8}$

Étape 5

Remplacez les valeurs du rapport et du premier terme dans la formule de l’addition.

$\frac{\frac{7}{8}}{1 - \frac{1}{8}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{8}}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{8}{8} - \frac{1}{8}}$

Étape 6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{8 - 1}{8}}$

Étape 6.2.3

Soustrayez $1$ de $8$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{7}{8}}$

Étape 6.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{7}{8} (1 (\frac{8}{7}))$

Étape 6.4

Multipliez $\frac{8}{7}$ par $1$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 6.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7}$

Étape 6.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{8} \cdot 8$

Étape 6.6

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 6.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{8} \cdot 8$

Étape 6.6.2

Réécrivez l’expression.

$1$