Pré-calcul Exemples

$\sum_{k = 1}^{8} \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{k - 1}$

Étape 1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{8} \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{k - 1} = \sum_{k = 1}^{8} \frac{1}{3} + \sum_{k = 1}^{8} {(\frac{1}{3})}^{k - 1}$

Étape 2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{8} \frac{1}{3}$ .

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Étape 2.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(\frac{1}{3}) (8)$

Étape 2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$\frac{8}{3}$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{8} {(\frac{1}{3})}^{k - 1}$ .

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Étape 3.1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 3.2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ et en simplifiant.

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Étape 3.2.1

Remplacez $a_{k}$ et $a_{k + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{k - 1}}$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun à ${(\frac{1}{3})}^{k + 1 - 1}$ et ${(\frac{1}{3})}^{k - 1}$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Factorisez ${(\frac{1}{3})}^{k - 1}$ à partir de ${(\frac{1}{3})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{k - 1} {(\frac{1}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{k - 1}}$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{k - 1} {(\frac{1}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Étape 3.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{k - 1} {(\frac{1}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Étape 3.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Étape 3.2.2.1.2.4

Divisez ${(\frac{1}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ par $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $k$ et $0$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{k - (k - 1)}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = {(\frac{1}{3})}^{k - k - - 1}$

Étape 3.2.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{k - k + 1}$

Étape 3.2.2.4

Soustrayez $k$ de $k$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Étape 3.2.2.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

Étape 3.2.2.6

Simplifiez

$r = \frac{1}{3}$

Étape 3.3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.3.1

Remplacez $k$ par $1$ dans ${(\frac{1}{3})}^{k - 1}$ .

$a = {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a = {(\frac{1}{3})}^{0}$

Étape 3.3.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$a = \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Étape 3.3.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = \frac{1}{3^{0}}$

Étape 3.3.2.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Étape 3.3.2.5

Divisez $1$ par $1$ .

$a = 1$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Multipliez $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$ par $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

Étape 3.5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Étape 3.5.2.1

Multipliez $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

Étape 3.5.2.2

Associez.

$\frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

Étape 3.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

Étape 3.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Étape 3.5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Étape 3.5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.5.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 + 3 (- \frac{1^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1^{8}}{3^{8}}$ dans le numérateur.

$\frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.3.2

Factorisez $3$ à partir de $3^{8}$ .

$\frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 + \frac{- 1^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.5

Élevez $3$ à la puissance $7$ .

$\frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3 + \frac{- 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3 - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.8

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2187}{2187}$ .

$\frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.9

Associez $3$ et $\frac{2187}{2187}$ .

$\frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 \cdot 2187 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.5.11.1

Multipliez $3$ par $2187$ .

$\frac{\frac{6561 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.5.11.2

Soustrayez $1$ de $6561$ .

$\frac{\frac{6560}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 3.5.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.6.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\frac{6560}{2187}}{3 - 1}$

Étape 3.5.6.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

Étape 3.5.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{6560}{2187} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.5.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.8.1

Factorisez $2$ à partir de $6560$ .

$\frac{2 (3280)}{2187} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.5.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3280}{2187} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.5.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3280}{2187}$

Étape 4

Additionnez les résultats des additions.

$\frac{8}{3} + \frac{3280}{2187}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Pour écrire $\frac{8}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{729}{729}$ .

$\frac{8}{3} \cdot \frac{729}{729} + \frac{3280}{2187}$

Étape 5.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2187$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.1

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $\frac{729}{729}$ .

$\frac{8 \cdot 729}{3 \cdot 729} + \frac{3280}{2187}$

Étape 5.2.2

Multipliez $3$ par $729$ .

$\frac{8 \cdot 729}{2187} + \frac{3280}{2187}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 \cdot 729 + 3280}{2187}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Multipliez $8$ par $729$ .

$\frac{5832 + 3280}{2187}$

Étape 5.4.2

Additionnez $5832$ et $3280$ .

$\frac{9112}{2187}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{9112}{2187}$

Forme décimale :

$4.16643804 \dots$

Forme de nombre mixte :

$4 \frac{364}{2187}$