Pré-calcul Exemples

$\sum_{n = 1}^{8} {(\frac{1}{9})}^{n}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ et en simplifiant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Remplacez $a_{n}$ et $a_{n + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{9})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{9})}^{n}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun à ${(\frac{1}{9})}^{n + 1}$ et ${(\frac{1}{9})}^{n}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Factorisez ${(\frac{1}{9})}^{n}$ à partir de ${(\frac{1}{9})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{9})}^{n} \frac{1}{9}}{{(\frac{1}{9})}^{n}}$

Étape 2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{9})}^{n} \frac{1}{9}}{{(\frac{1}{9})}^{n} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(\frac{1}{9})}^{n} \frac{1}{9}}{{(\frac{1}{9})}^{n} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{\frac{1}{9}}{1}$

Étape 2.2.2.4

Divisez $\frac{1}{9}$ par $1$ .

$r = \frac{1}{9}$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $n$ par $1$ dans ${(\frac{1}{9})}^{n}$ .

$a = {(\frac{1}{9})}^{1}$

Étape 3.2

Simplifiez

$a = \frac{1}{9}$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{9})}^{8}}{1 - \frac{1}{9}}$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Multipliez $\frac{1 - {(\frac{1}{9})}^{8}}{1 - \frac{1}{9}}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{9}{9} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{9})}^{8}}{1 - \frac{1}{9}})$

Étape 5.1.2

Associez.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 (1 - {(\frac{1}{9})}^{8})}{9 (1 - \frac{1}{9})}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 \cdot 1 + 9 (- {(\frac{1}{9})}^{8})}{9 \cdot 1 + 9 (- \frac{1}{9})}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{9}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 \cdot 1 + 9 (- {(\frac{1}{9})}^{8})}{9 \cdot 1 + 9 (\frac{- 1}{9})}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 \cdot 1 + 9 (- {(\frac{1}{9})}^{8})}{9 \cdot 1 + 9 (\frac{- 1}{9})}$

Étape 5.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 \cdot 1 + 9 (- {(\frac{1}{9})}^{8})}{9 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Multipliez $9$ par $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 + 9 (- {(\frac{1}{9})}^{8})}{9 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 + 9 (- \frac{1^{8}}{9^{8}})}{9 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.3

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1^{8}}{9^{8}}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 + 9 \frac{- 1^{8}}{9^{8}}}{9 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.3.2

Factorisez $9$ à partir de $9^{8}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 + 9 \frac{- 1^{8}}{9 \cdot 9^{7}}}{9 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 + 9 \frac{- 1^{8}}{9 \cdot 9^{7}}}{9 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 + \frac{- 1^{8}}{9^{7}}}{9 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 + \frac{- 1 \cdot 1}{9^{7}}}{9 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.5

Élevez $9$ à la puissance $7$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 + \frac{- 1 \cdot 1}{4782969}}{9 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 + \frac{- 1}{4782969}}{9 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 - \frac{1}{4782969}}{9 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.8

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4782969}{4782969}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 \cdot \frac{4782969}{4782969} - \frac{1}{4782969}}{9 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.9

Associez $9$ et $\frac{4782969}{4782969}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{9 \cdot 4782969}{4782969} - \frac{1}{4782969}}{9 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{9 \cdot 4782969 - 1}{4782969}}{9 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.11

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.11.1

Multipliez $9$ par $4782969$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{43046721 - 1}{4782969}}{9 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.11.2

Soustrayez $1$ de $43046721$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{43046720}{4782969}}{9 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.5

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Multipliez $9$ par $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{43046720}{4782969}}{9 - 1}$

Étape 5.5.2

Soustrayez $1$ de $9$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{43046720}{4782969}}{8}$

Étape 5.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{9} (\frac{43046720}{4782969} \cdot \frac{1}{8})$

Étape 5.7

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.1

Factorisez $8$ à partir de $43046720$ .

$\frac{1}{9} (\frac{8 (5380840)}{4782969} \cdot \frac{1}{8})$

Étape 5.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{9} (\frac{8 \cdot 5380840}{4782969} \cdot \frac{1}{8})$

Étape 5.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{5380840}{4782969}$

Étape 5.8

Multipliez $\frac{1}{9} \cdot \frac{5380840}{4782969}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.8.1

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{5380840}{4782969}$ .

$\frac{5380840}{9 \cdot 4782969}$

Étape 5.8.2

Multipliez $9$ par $4782969$ .

$\frac{5380840}{43046721}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5380840}{43046721}$

Forme décimale :

$0.12499999 \dots$