Pré-calcul Exemples

$2^{3 x - 1} = 3^{x - 2}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (2^{3 x - 1}) = \ln (3^{x - 2})$

Étape 2

Développez $\ln (2^{3 x - 1})$ en déplaçant $3 x - 1$ hors du logarithme.

$(3 x - 1) \ln (2) = \ln (3^{x - 2})$

Étape 3

Développez $\ln (3^{x - 2})$ en déplaçant $x - 2$ hors du logarithme.

$(3 x - 1) \ln (2) = (x - 2) \ln (3)$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Simplifiez $(3 x - 1) \ln (2)$ .

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Étape 4.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (3 x - 1) \ln (2) = (x - 2) \ln (3)$

Étape 4.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(3 x - 1) \ln (2) = (x - 2) \ln (3)$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x \ln (2) - 1 \ln (2) = (x - 2) \ln (3)$

Étape 4.1.4

Réécrivez $- 1 \ln (2)$ comme $- \ln (2)$ .

$3 x \ln (2) - \ln (2) = (x - 2) \ln (3)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x \ln (2) - \ln (2) = x \ln (3) - 2 \ln (3)$

Étape 4.3

Soustrayez $x \ln (3)$ des deux côtés de l’équation.

$3 x \ln (2) - \ln (2) - x \ln (3) = - 2 \ln (3)$

Étape 4.4

Ajoutez $\ln (2)$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x \ln (2) - x \ln (3) = - 2 \ln (3) + \ln (2)$

Étape 4.5

Factorisez $x$ à partir de $3 x \ln (2) - x \ln (3)$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x \ln (2)$ .

$x (3 \ln (2)) - x \ln (3) = - 2 \ln (3) + \ln (2)$

Étape 4.5.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (3)$ .

$x (3 \ln (2)) + x (- 1 \ln (3)) = - 2 \ln (3) + \ln (2)$

Étape 4.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x (3 \ln (2)) + x (- 1 \ln (3))$ .

$x (3 \ln (2) - 1 \ln (3)) = - 2 \ln (3) + \ln (2)$

Étape 4.6

Réécrivez $- 1 \ln (3)$ comme $- \ln (3)$ .

$x (3 \ln (2) - \ln (3)) = - 2 \ln (3) + \ln (2)$

Étape 4.7

Divisez chaque terme dans $x (3 \ln (2) - \ln (3)) = - 2 \ln (3) + \ln (2)$ par $3 \ln (2) - \ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 4.7.1

Divisez chaque terme dans $x (3 \ln (2) - \ln (3)) = - 2 \ln (3) + \ln (2)$ par $3 \ln (2) - \ln (3)$ .

$\frac{x (3 \ln (2) - \ln (3))}{3 \ln (2) - \ln (3)} = \frac{- 2 \ln (3)}{3 \ln (2) - \ln (3)} + \frac{\ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (3)}$

Étape 4.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.7.2.1

Annulez le facteur commun de $3 \ln (2) - \ln (3)$ .

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Étape 4.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (3 \ln (2) - \ln (3))}{3 \ln (2) - \ln (3)} = \frac{- 2 \ln (3)}{3 \ln (2) - \ln (3)} + \frac{\ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (3)}$

Étape 4.7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (3)}{3 \ln (2) - \ln (3)} + \frac{\ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (3)}$

Étape 4.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.7.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- 2 \ln (3) + \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (3)}$

Étape 4.7.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 \ln (3)$ .

$x = \frac{- (2 \ln (3)) + \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (3)}$

Étape 4.7.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (2)$ .

$x = \frac{- (2 \ln (3)) - 1 (- \ln (2))}{3 \ln (2) - \ln (3)}$

Étape 4.7.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 \ln (3)) - 1 (- \ln (2))$ .

$x = \frac{- (2 \ln (3) - \ln (2))}{3 \ln (2) - \ln (3)}$

Étape 4.7.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.7.3.5.1

Réécrivez $- (2 \ln (3) - \ln (2))$ comme $- 1 (2 \ln (3) - \ln (2))$ .

$x = \frac{- 1 (2 \ln (3) - \ln (2))}{3 \ln (2) - \ln (3)}$

Étape 4.7.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2 \ln (3) - \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (3)}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{2 \ln (3) - \ln (2)}{3 \ln (2) - \ln (3)}$

Forme décimale :

$x = - 1.53347526 \dots$