Pré-calcul Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - x)}^{4} - 16}{x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 - x)}^{4} - 16}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 - x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez l’exposant $4$ de ${(2 - x)}^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 - x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{{(2 - lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez la limite de $16$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{{(2 - lim_{x \to 0} x)}^{4} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{{(2 + 0)}^{4} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.6.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.6.2.1.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{2^{4} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.6.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.6.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.6.2.2

Soustrayez $16$ de $16$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - x)}^{4} - 16}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(2 - x)}^{4} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 2 - x$ .

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Étape 1.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 - x] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 - x] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [2 - x] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.7

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.8

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3} + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $- 4 {(2 - x)}^{3}$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3}}{1}$

Étape 1.4

Divisez $- 4 {(2 - x)}^{3}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} - 4 {(2 - x)}^{3}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $- 4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 4 lim_{x \to 0} {(2 - x)}^{3}$

Étape 2.2

Déplacez l’exposant $3$ de ${(2 - x)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- 4 {(lim_{x \to 0} 2 - x)}^{3}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$- 4 {(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} x)}^{3}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$- 4 {(2 - lim_{x \to 0} x)}^{3}$

Étape 2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- 4 {(2 + 0)}^{3}$

Étape 2.5.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.5.2.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$- 4 \cdot 2^{3}$

Étape 2.5.2.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- 4 \cdot 8$

Étape 2.5.2.3

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$- 32$