Pré-calcul Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) - \cos (x)}{4 x^{2}}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (5 x) - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 5 x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.3

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0) - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0) - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.6.1.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\cos (0) - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.6.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.6.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.6.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Étape 2.1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) - \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (5 x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (5 x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (5 x) - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

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Étape 2.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.3.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.3.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.3.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (5 x) \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.3.5

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 2.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.4.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) - - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.4.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + \sin (x)}{2 x}$

Étape 3

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + \sin (x)}{x}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} - 5 \sin (5 x) + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 4.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- lim_{x \to 0} 5 \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.2

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 lim_{x \to 0} \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (5 \cdot 0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (5 \cdot 0) + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.7.1.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \sin (0) + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.7.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 5 \cdot 0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.7.1.3

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.7.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.7.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Étape 4.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Étape 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{- 5 \sin (5 x) + \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 \sin (5 x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 \sin (5 x) + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 5 \sin (5 x) + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (5 x)]$ .

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Étape 4.3.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 \sin (5 x)$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cos (u) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.3.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cos (5 x) \cdot 5 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.3.6

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (5 x)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 5 \cdot 5 \cdot \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.3.7

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 25 \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 25 \cos (5 x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 25 \cos (5 x) + \cos (x)}{1}$

Étape 4.4

Divisez $- 25 \cos (5 x) + \cos (x)$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} - 25 \cos (5 x) + \cos (x)$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- lim_{x \to 0} 25 \cos (5 x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Étape 5.2

Placez le terme $25$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 lim_{x \to 0} \cos (5 x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Étape 5.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 \cos (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Étape 5.4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Étape 5.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 \cos (5 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 \cos (5 \cdot 0) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (- 25 \cos (5 \cdot 0) + \cos (0))$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 7.1.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} (- 25 \cos (5 \cdot 0) + \cos (0))$

Étape 7.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{8} (- 25 \cos (5 \cdot 0) + \cos (0))$

Étape 7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{1}{8} (- 25 \cos (0) + \cos (0))$

Étape 7.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{8} (- 25 \cdot 1 + \cos (0))$

Étape 7.2.3

Multipliez $- 25$ par $1$ .

$\frac{1}{8} (- 25 + \cos (0))$

Étape 7.2.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{8} (- 25 + 1)$

Étape 7.3

Additionnez $- 25$ et $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot - 24$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 7.4.1

Factorisez $8$ à partir de $- 24$ .

$\frac{1}{8} \cdot (8 (- 3))$

Étape 7.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{8} \cdot (8 \cdot - 3)$

Étape 7.4.3

Réécrivez l’expression.

$- 3$