Pré-calcul Exemples

$lim_{w \to 4} \frac{3 \sqrt{w} - 6}{w - 4}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{w \to 4} 3 \sqrt{w} - 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $w$ approche de $4$ .

$\frac{lim_{w \to 4} 3 \sqrt{w} - lim_{w \to 4} 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $w$ .

$\frac{3 lim_{w \to 4} \sqrt{w} - lim_{w \to 4} 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Étape 1.1.2.1.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{lim_{w \to 4} w} - lim_{w \to 4} 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $w$ approche de $4$ .

$\frac{3 \sqrt{lim_{w \to 4} w} - 1 \cdot 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $w$ en insérant $4$ pour $w$ .

$\frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 - 1 \cdot 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{6 - 6}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $6$ de $6$ .

$\frac{0}{lim_{w \to 4} w - 4}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $w$ approche de $4$ .

$\frac{0}{lim_{w \to 4} w - lim_{w \to 4} 4}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $w$ approche de $4$ .

$\frac{0}{lim_{w \to 4} w - 1 \cdot 4}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $w$ en insérant $4$ pour $w$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{w \to 4} \frac{3 \sqrt{w} - 6}{w - 4} = lim_{w \to 4} \frac{\frac{d}{d w} [3 \sqrt{w} - 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{d}{d w} [3 \sqrt{w} - 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 \sqrt{w} - 6$ par rapport à $w$ est $\frac{d}{d w} [3 \sqrt{w}] + \frac{d}{d w} [- 6]$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{d}{d w} [3 \sqrt{w}] + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d w} [3 \sqrt{w}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{w}$ comme $w^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{d}{d w} [3 w^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Étape 1.3.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $3 w^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $w$ est $3 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 \frac{d}{d w} [w^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Étape 1.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Étape 1.3.3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Étape 1.3.3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Étape 1.3.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Étape 1.3.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Étape 1.3.3.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Étape 1.3.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{w \to 4} \frac{3 (\frac{1}{2} w^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Étape 1.3.3.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $w^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3 \frac{w^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Étape 1.3.3.10

Associez $3$ et $\frac{w^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3 w^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Étape 1.3.3.11

Placez $w^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d w} [- 6]}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 6$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $w$ est $0$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d w} [w - 4]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $w - 4$ par rapport à $w$ est $\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 4]$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [- 4]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d w} [- 4]}$

Étape 1.3.8

Comme $- 4$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $w$ est $0$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Étape 1.3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{w \to 4} \frac{\frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{w \to 4} \frac{3}{2 w^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 1.5

Réécrivez $w^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{w}$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3}{2 \sqrt{w}} \cdot 1$

Étape 1.6

Multipliez $\frac{3}{2 \sqrt{w}}$ par $1$ .

$lim_{w \to 4} \frac{3}{2 \sqrt{w}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{3}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $w$ .

$\frac{3}{2} lim_{w \to 4} \frac{1}{\sqrt{w}}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $w$ approche de $4$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{w \to 4} 1}{lim_{w \to 4} \sqrt{w}}$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $w$ approche de $4$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{lim_{w \to 4} \sqrt{w}}$

Étape 2.4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{w \to 4} w}}$

Étape 3

Évaluez la limite de $w$ en insérant $4$ pour $w$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 4.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3}{4}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3}{4}$

Forme décimale :

$0.75$