Pré-calcul Exemples

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x^{3} - 1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x^{3} - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x^{3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Étape 1.1.2.1.3

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{8 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{8 {(\frac{1}{2})}^{3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{8 \frac{1}{2^{3}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{8 (\frac{1}{8}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 1.1.2.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 (\frac{1}{8}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Étape 1.1.2.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Étape 1.1.2.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - 5 x + 1}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Étape 1.1.3.2

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{6 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Étape 1.1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Étape 1.1.3.4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Étape 1.1.3.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}$

Étape 1.1.3.6

Évaluez les limites en insérant $\frac{1}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{0}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}$

Étape 1.1.3.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{0}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Étape 1.1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.7.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{6 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Étape 1.1.3.7.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{6 \frac{1}{2^{2}} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Étape 1.1.3.7.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{6 (\frac{1}{4}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Étape 1.1.3.7.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.3.7.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{0}{2 (3) \frac{1}{4} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Étape 1.1.3.7.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{0}{2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Étape 1.1.3.7.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{0}{2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Étape 1.1.3.7.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{3 (\frac{1}{2}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Étape 1.1.3.7.1.5

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{3}{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1}$

Étape 1.1.3.7.1.6

Associez $- 5$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{3}{2} + \frac{- 5}{2} + 1}$

Étape 1.1.3.7.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{0}{\frac{3}{2} - \frac{5}{2} + 1}$

Étape 1.1.3.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{0}{1 + \frac{3 - 5}{2}}$

Étape 1.1.3.7.3

Soustrayez $5$ de $3$ .

$\frac{0}{1 + \frac{- 2}{2}}$

Étape 1.1.3.7.4

Divisez $- 2$ par $2$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.7.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.7.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 x^{3} - 1}{6 x^{2} - 5 x + 1} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3} - 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3} - 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{3} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $3$ par $8$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $24 x^{2}$ et $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 5 x + 1]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{2} - 5 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.7.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.7.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 1.3.8.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.8.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5 + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5 + 0}$

Étape 1.3.10

Additionnez $12 x - 5$ et $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{24 x^{2}}{12 x - 5}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $24$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$24 lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x^{2}}{12 x - 5}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$24 \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 12 x - 5}$

Étape 2.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$24 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 12 x - 5}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$24 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 12 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5}$

Étape 2.5

Placez le terme $12$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$24 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}{12 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 5}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$24 \frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}{12 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 5}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $\frac{1}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$24 \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{12 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 5}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$24 \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 5}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$24 \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 5}$

Étape 4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$24 \frac{\frac{1}{2^{2}}}{12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 5}$

Étape 4.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$24 \frac{\frac{1}{4}}{12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 5}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$24 \frac{\frac{1}{4}}{2 (6) \frac{1}{2} - 1 \cdot 5}$

Étape 4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$24 \frac{\frac{1}{4}}{2 \cdot 6 \frac{1}{2} - 1 \cdot 5}$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$24 \frac{\frac{1}{4}}{6 - 1 \cdot 5}$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$24 \frac{\frac{1}{4}}{6 - 5}$

Étape 4.2.3

Soustrayez $5$ de $6$ .

$24 \frac{\frac{1}{4}}{1}$

Étape 4.3

Divisez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$24 (\frac{1}{4})$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$4 (6) \frac{1}{4}$

Étape 4.4.2

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot 6 \frac{1}{4}$

Étape 4.4.3

Réécrivez l’expression.

$6$