Pré-calcul Exemples

$lim_{x \to 7} \frac{2 - \sqrt{x - 3}}{x^{2} - 49}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 7} 2 - \sqrt{x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $7$ .

$\frac{lim_{x \to 7} 2 - lim_{x \to 7} \sqrt{x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Étape 1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $7$ .

$\frac{2 - lim_{x \to 7} \sqrt{x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Étape 1.1.2.1.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 7} x - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Étape 1.1.2.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $7$ .

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Étape 1.1.2.1.5

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $7$ .

$\frac{2 - \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $7$ pour $x$ .

$\frac{2 - \sqrt{7 - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2 - \sqrt{7 - 3}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Soustrayez $3$ de $7$ .

$\frac{2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Étape 1.1.2.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x^{2} - 49}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $7$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 7} x^{2} - lim_{x \to 7} 49}$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} - lim_{x \to 7} 49}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $49$ qui est constante lorsque $x$ approche de $7$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 7} x)}^{2} - 1 \cdot 49}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $7$ pour $x$ .

$\frac{0}{7^{2} - 1 \cdot 49}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{49 - 1 \cdot 49}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $49$ .

$\frac{0}{49 - 49}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $49$ de $49$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 7} \frac{2 - \sqrt{x - 3}}{x^{2} - 49} = lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - \sqrt{x - 3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Étape 1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x - 3}]$ .

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Étape 1.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 3}$ comme ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Étape 1.3.4.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Étape 1.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x - 3$ .

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Étape 1.3.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 3$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 3])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Étape 1.3.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Étape 1.3.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 3$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Étape 1.3.4.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Étape 1.3.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Étape 1.3.4.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Étape 1.3.4.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Étape 1.3.4.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Étape 1.3.4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Étape 1.3.4.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.4.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Étape 1.3.4.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Étape 1.3.4.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Étape 1.3.4.12

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Étape 1.3.4.13

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - (\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Étape 1.3.4.14

Multipliez $\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ par $1$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - \frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Étape 1.3.4.15

Placez ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 7} \frac{0 - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Étape 1.3.5

Soustrayez $\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 49]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 49$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]$ .

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 49]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 49]}$

Étape 1.3.8

Comme $- 49$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 49$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 0}$

Étape 1.3.9

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 7} \frac{- \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Étape 1.5

Réécrivez ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x - 3}$ .

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Étape 1.6

Combinez les facteurs.

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Étape 1.6.1

Multipliez $\frac{1}{2 x}$ par $\frac{1}{2 \sqrt{x - 3}}$ .

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{2 x (2 \sqrt{x - 3})}$

Étape 1.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to 7} - \frac{1}{4 x \sqrt{x - 3}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to 7} \frac{1}{4 x \sqrt{x - 3}}$

Étape 2.2

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- \frac{1}{4} lim_{x \to 7} \frac{1}{x \sqrt{x - 3}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 7} 1}{lim_{x \to 7} x \sqrt{x - 3}}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \sqrt{x - 3}}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot lim_{x \to 7} \sqrt{x - 3}}$

Étape 2.6

Placez la limite sous le radical.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - 3}}$

Étape 2.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 3}}$

Étape 2.8

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 7} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 3}}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $7$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $7$ pour $x$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 3}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $7$ pour $x$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot \sqrt{7 - 1 \cdot 3}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \sqrt{7 - 3}}$

Étape 4.1.2

Soustrayez $3$ de $7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \sqrt{4}}$

Étape 4.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \sqrt{2^{2}}}$

Étape 4.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7 \cdot 2}$

Étape 4.2

Multipliez $7$ par $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{14}$

Étape 4.3

Multipliez $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{14}$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{1}{14}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{14 \cdot 4}$

Étape 4.3.2

Multipliez $14$ par $4$ .

$- \frac{1}{56}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{56}$

Forme décimale :

$- 0.01785714 \dots$