Pré-calcul Exemples

$lim_{x \to - 1} \frac{{(x^{3} - 2 x - 1)}^{2}}{x^{4} - 2 x + 1}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} {(x^{3} - 2 x - 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

Étape 2

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x^{3} - 2 x - 1)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x^{3} - 2 x - 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x^{3} - lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

Étape 5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

Étape 6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 2 x + 1}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{x \to - 1} x^{4} - lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}$

Étape 9

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Étape 10

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{{({(lim_{x \to - 1} x)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{{({(- 1)}^{3} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{{({(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{{({(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 11.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{{({(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{{(- 1 - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

Étape 12.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{{(- 1 + 2 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

Étape 12.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{{(- 1 + 2 - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

Étape 12.1.4

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{{(1 - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

Étape 12.1.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0^{2}}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

Étape 12.1.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{4} - 2 \cdot - 1 + 1}$

Étape 12.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\frac{0}{1 - 2 \cdot - 1 + 1}$

Étape 12.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{0}{1 + 2 + 1}$

Étape 12.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{0}{3 + 1}$

Étape 12.2.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{0}{4}$

Étape 12.3

Divisez $0$ par $4$ .

$0$