Pré-calcul Exemples

$30$ , $- 10$ , $\frac{10}{3}$ , $- \frac{10}{9}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $- \frac{1}{3}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = - \frac{1}{3}$

Étape 2

C’est la forme d’une séquence géométrique.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 3

Remplacez les valeurs de $a_{1} = 30$ et $r = - \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 30 {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Étape 4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 30 ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n - 1})$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 30 ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}})$

Étape 5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$a_{n} = 30 ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{3^{n - 1}})$

Étape 6

Associez ${(- 1)}^{n - 1}$ et $\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

$a_{n} = 30 \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Étape 7

Associez $30$ et $\frac{{(- 1)}^{n - 1}}{3^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{30 {(- 1)}^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Étape 8

Remplacez dans la valeur de $n$ pour déterminer le $n$ ième terme.

$a_{5} = \frac{30 {(- 1)}^{(5) - 1}}{3^{(5) - 1}}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Soustrayez $1$ de $5$ .

$a_{5} = \frac{30 {(- 1)}^{4}}{3^{5 - 1}}$

Étape 9.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$a_{5} = \frac{30 \cdot 1}{3^{5 - 1}}$

Étape 10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1

Soustrayez $1$ de $5$ .

$a_{5} = \frac{30 \cdot 1}{3^{4}}$

Étape 10.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$a_{5} = \frac{30 \cdot 1}{81}$

Étape 11

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 11.1

Multipliez $30$ par $1$ .

$a_{5} = \frac{30}{81}$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun à $30$ et $81$ .

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Étape 11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $30$ .

$a_{5} = \frac{3 (10)}{81}$

Étape 11.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$a_{5} = \frac{3 \cdot 10}{3 \cdot 27}$

Étape 11.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$a_{5} = \frac{3 \cdot 10}{3 \cdot 27}$

Étape 11.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$a_{5} = \frac{10}{27}$