Pré-calcul Exemples

$\sum_{i = 0}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$

Étape 1

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $i$ égale à $1$ .

$\sum_{k = 0}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i} = \sum_{k = 1}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i} + \sum_{k = 0}^{0} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$

Étape 2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$ .

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Étape 2.1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i} = \sum_{k = 1}^{8} 256 + \sum_{k = 1}^{8} {(\frac{3}{2})}^{i}$

Étape 2.2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{8} 256$ .

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Étape 2.2.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 2.2.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(256) (8)$

Étape 2.2.3

Multipliez $256$ par $8$ .

$2048$

Étape 2.3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{8} {(\frac{3}{2})}^{i}$ .

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Étape 2.3.1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2.3.2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.3.2.1

Remplacez $a_{k}$ et $a_{k + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i + 1}}{{(\frac{3}{2})}^{i}}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun à ${(\frac{3}{2})}^{i + 1}$ et ${(\frac{3}{2})}^{i}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Factorisez ${(\frac{3}{2})}^{i}$ à partir de ${(\frac{3}{2})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i} \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{i}}$

Étape 2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i} \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{i} \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i} \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{i} \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{\frac{3}{2}}{1}$

Étape 2.3.2.2.2.4

Divisez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$r = \frac{3}{2}$

Étape 2.3.3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 2.3.3.1

Remplacez $i$ par $1$ dans ${(\frac{3}{2})}^{i}$ .

$a = {(\frac{3}{2})}^{1}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

$a = \frac{3}{2}$

Étape 2.3.4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{8}}{1 - \frac{3}{2}}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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Étape 2.3.5.1.1

Multipliez $\frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{8}}{1 - \frac{3}{2}}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{8}}{1 - \frac{3}{2}})$

Étape 2.3.5.1.2

Associez.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 (1 - {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 (1 - \frac{3}{2})}$

Étape 2.3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{3}{2})}$

Étape 2.3.5.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 3}{2})}$

Étape 2.3.5.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 3}{2})}$

Étape 2.3.5.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 - 3}$

Étape 2.3.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.5.4.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 - 3}$

Étape 2.3.5.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 (- \frac{3^{8}}{2^{8}})}{2 \cdot 1 - 3}$

Étape 2.3.5.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.5.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3^{8}}{2^{8}}$ dans le numérateur.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 \frac{- 3^{8}}{2^{8}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Étape 2.3.5.4.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2^{8}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 \frac{- 3^{8}}{2 \cdot 2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Étape 2.3.5.4.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 \frac{- 3^{8}}{2 \cdot 2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Étape 2.3.5.4.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 3^{8}}{2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Étape 2.3.5.4.4

Élevez $3$ à la puissance $8$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 6561}{2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Étape 2.3.5.4.5

Élevez $2$ à la puissance $7$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Étape 2.3.5.4.6

Multipliez $- 1$ par $6561$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Étape 2.3.5.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 - \frac{6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Étape 2.3.5.4.8

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{128}{128}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot \frac{128}{128} - \frac{6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Étape 2.3.5.4.9

Associez $2$ et $\frac{128}{128}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 128}{128} - \frac{6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Étape 2.3.5.4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 128 - 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Étape 2.3.5.4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.5.4.11.1

Multipliez $2$ par $128$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{256 - 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Étape 2.3.5.4.11.2

Soustrayez $6561$ de $256$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{- 6305}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Étape 2.3.5.4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \frac{6305}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Étape 2.3.5.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.5.5.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \frac{6305}{128}}{2 - 3}$

Étape 2.3.5.5.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \frac{6305}{128}}{- 1}$

Étape 2.3.5.6

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{6305}{128}}{1}$

Étape 2.3.5.7

Divisez $\frac{6305}{128}$ par $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{6305}{128}$

Étape 2.3.5.8

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot \frac{6305}{128}$ .

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Étape 2.3.5.8.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{6305}{128}$ .

$\frac{3 \cdot 6305}{2 \cdot 128}$

Étape 2.3.5.8.2

Multipliez $3$ par $6305$ .

$\frac{18915}{2 \cdot 128}$

Étape 2.3.5.8.3

Multipliez $2$ par $128$ .

$\frac{18915}{256}$

Étape 2.4

Additionnez les résultats des additions.

$2048 + \frac{18915}{256}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Pour écrire $2048$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{256}{256}$ .

$2048 \cdot \frac{256}{256} + \frac{18915}{256}$

Étape 2.5.2

Associez $2048$ et $\frac{256}{256}$ .

$\frac{2048 \cdot 256}{256} + \frac{18915}{256}$

Étape 2.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2048 \cdot 256 + 18915}{256}$

Étape 2.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.4.1

Multipliez $2048$ par $256$ .

$\frac{524288 + 18915}{256}$

Étape 2.5.4.2

Additionnez $524288$ et $18915$ .

$\frac{543203}{256}$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 0}^{0} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$ .

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Étape 3.1

Développez la série pour chaque valeur de $i$ .

$256 + {(\frac{3}{2})}^{0}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$256 + \frac{3^{0}}{2^{0}}$

Étape 3.2.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$256 + \frac{1}{2^{0}}$

Étape 3.2.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$256 + \frac{1}{1}$

Étape 3.2.1.4

Divisez $1$ par $1$ .

$256 + 1$

Étape 3.2.2

Additionnez $256$ et $1$ .

$257$

Étape 4

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$\frac{543203}{256} + 257$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Pour écrire $257$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{256}{256}$ .

$\frac{543203}{256} + 257 \cdot \frac{256}{256}$

Étape 5.2

Associez $257$ et $\frac{256}{256}$ .

$\frac{543203}{256} + \frac{257 \cdot 256}{256}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{543203 + 257 \cdot 256}{256}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Multipliez $257$ par $256$ .

$\frac{543203 + 65792}{256}$

Étape 5.4.2

Additionnez $543203$ et $65792$ .

$\frac{608995}{256}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{608995}{256}$

Forme décimale :

$2378.88671875$

Forme de nombre mixte :

$2378 \frac{227}{256}$