Pré-calcul Exemples

$\sum_{1}^{10} {(x - 14)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x - 14)}^{2}$ comme $(x - 14) (x - 14)$ .

$(x - 14) (x - 14)$

Étape 1.2

Développez $(x - 14) (x - 14)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - 14) - 14 (x - 14)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 14 - 14 (x - 14)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 14 - 14 x - 14 \cdot - 14$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 14 - 14 x - 14 \cdot - 14$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 14$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 14 \cdot x - 14 x - 14 \cdot - 14$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 14$ par $- 14$ .

$x^{2} - 14 x - 14 x + 196$

Étape 1.3.2

Soustrayez $14 x$ de $- 14 x$ .

$x^{2} - 28 x + 196$

Étape 1.4

Réécrivez l’addition.

$\sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 28 x + 196$

Étape 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 28 x + 196 = \sum_{x = 1}^{10} x^{2} - 28 \sum_{x = 1}^{10} x + \sum_{x = 1}^{10} 196$

Étape 3

Évaluez $\sum_{x = 1}^{10} x^{2}$ .

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Étape 3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun à $10$ et $6$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{6}$

Étape 3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{2 (3)}$

Étape 3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1))}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $2$ par $10$ .

$\frac{5 (10 + 1) (20 + 1)}{3}$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $10$ et $1$ .

$\frac{5 \cdot 11 (20 + 1)}{3}$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $5$ par $11$ .

$\frac{55 (20 + 1)}{3}$

Étape 3.3.2.4

Additionnez $20$ et $1$ .

$\frac{55 \cdot 21}{3}$

Étape 3.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $55$ par $21$ .

$\frac{1155}{3}$

Étape 3.3.3.2

Divisez $1155$ par $3$ .

$385$

Étape 4

Évaluez $28 \sum_{x = 1}^{10} x$ .

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Étape 4.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- 28) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1.1

Additionnez $10$ et $1$ .

$- 28 \frac{10 \cdot 11}{2}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $10$ par $11$ .

$- 28 (\frac{110}{2})$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 28$ .

$2 (- 14) \frac{110}{2}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 14 \frac{110}{2}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 14 \cdot 110$

Étape 4.3.3

Multipliez $- 14$ par $110$ .

$- 1540$

Étape 5

Évaluez $\sum_{x = 1}^{10} 196$ .

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Étape 5.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(196) (10)$

Étape 5.3

Multipliez $196$ par $10$ .

$1960$

Étape 6

Additionnez les résultats des additions.

$385 - 1540 + 1960$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Soustrayez $1540$ de $385$ .

$- 1155 + 1960$

Étape 7.2

Additionnez $- 1155$ et $1960$ .

$805$