Pré-calcul Exemples

$\sum_{i = 1}^{50} 2^{2 i}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{i}$ et $a_{i + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{2^{2 (i + 1)}}{2^{2 i}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun à $2^{2 (i + 1)}$ et $2^{2 i}$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $2^{2 i}$ à partir de $2^{2 (i + 1)}$ .

$r = \frac{2^{2 i} \cdot 2^{2 (i + 1) - 2 i}}{2^{2 i}}$

Étape 2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{2^{2 i} \cdot 2^{2 (i + 1) - 2 i}}{2^{2 i} \cdot 1}$

Étape 2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{2^{2 i} \cdot 2^{2 (i + 1) - 2 i}}{2^{2 i} \cdot 1}$

Étape 2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{2^{2 (i + 1) - 2 i}}{1}$

Étape 2.2.1.2.4

Divisez $2^{2 (i + 1) - 2 i}$ par $1$ .

$r = 2^{2 (i + 1) - 2 i}$

Étape 2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = 2^{2 i + 2 \cdot 1 - 2 i}$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$r = 2^{2 i + 2 - 2 i}$

Étape 2.2.3

Associez les termes opposés dans $2 i + 2 - 2 i$ .

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Étape 2.2.3.1

Soustrayez $2 i$ de $2 i$ .

$r = 2^{0 + 2}$

Étape 2.2.3.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$r = 2^{2}$

Étape 2.2.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$r = 4$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.1

Remplacez $i$ par $1$ dans $2^{2 i}$ .

$a = 2^{2 \cdot 1}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$a = 2^{2}$

Étape 3.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$a = 4$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$4 \frac{1 - 4^{50}}{1 - 1 \cdot 4}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$4 \frac{1 - 4^{50}}{1 - 4}$

Étape 5.1.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$4 \frac{1 - 4^{50}}{- 3}$

Étape 5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (- \frac{1 - 4^{50}}{3})$

Étape 5.3

Multipliez $4 (- \frac{1 - 4^{50}}{3})$ .

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Étape 5.3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 \frac{1 - 4^{50}}{3}$

Étape 5.3.2

Associez $- 4$ et $\frac{1 - 4^{50}}{3}$ .

$\frac{- 4 (1 - 4^{50})}{3}$

Étape 5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 (1 - 4^{50})}{3}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{4 (1 - 4^{50})}{3}$

Forme décimale :

$1.6902008 \cdot 10^{30}$