Pré-calcul Exemples

$[\begin{array}{c} - 1 & \cos (c) & \cos (b) \\ \cos (c) & - 1 & \cos (a) \\ \cos (b) & \cos (a) & - 1 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & \cos (a) \\ \cos (a) & - 1 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 1 & \cos (a) \\ \cos (a) & - 1 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} \cos (c) & \cos (a) \\ \cos (b) & - 1 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- \cos (c) | \begin{array}{c} \cos (c) & \cos (a) \\ \cos (b) & - 1 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$\cos (b) | \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$- 1 | \begin{array}{c} - 1 & \cos (a) \\ \cos (a) & - 1 \end{array} | - \cos (c) | \begin{array}{c} \cos (c) & \cos (a) \\ \cos (b) & - 1 \end{array} | + \cos (b) | \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

Étape 2

Évaluez $| \begin{array}{c} - 1 & \cos (a) \\ \cos (a) & - 1 \end{array} |$ .

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 (- - 1 - \cos (a) \cos (a)) - \cos (c) | \begin{array}{c} \cos (c) & \cos (a) \\ \cos (b) & - 1 \end{array} | + \cos (b) | \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 1 (1 - \cos (a) \cos (a)) - \cos (c) | \begin{array}{c} \cos (c) & \cos (a) \\ \cos (b) & - 1 \end{array} | + \cos (b) | \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- \cos (a) \cos (a)$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Élevez $\cos (a)$ à la puissance $1$ .

$- 1 (1 - (\cos^{1} (a) \cos (a))) - \cos (c) | \begin{array}{c} \cos (c) & \cos (a) \\ \cos (b) & - 1 \end{array} | + \cos (b) | \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

Étape 2.2.1.2.2

Élevez $\cos (a)$ à la puissance $1$ .

$- 1 (1 - (\cos^{1} (a) \cos^{1} (a))) - \cos (c) | \begin{array}{c} \cos (c) & \cos (a) \\ \cos (b) & - 1 \end{array} | + \cos (b) | \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

Étape 2.2.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 1 (1 - {\cos (a)}^{1 + 1}) - \cos (c) | \begin{array}{c} \cos (c) & \cos (a) \\ \cos (b) & - 1 \end{array} | + \cos (b) | \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

Étape 2.2.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (a)) - \cos (c) | \begin{array}{c} \cos (c) & \cos (a) \\ \cos (b) & - 1 \end{array} | + \cos (b) | \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

Étape 2.2.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- 1 \sin^{2} (a) - \cos (c) | \begin{array}{c} \cos (c) & \cos (a) \\ \cos (b) & - 1 \end{array} | + \cos (b) | \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} \cos (c) & \cos (a) \\ \cos (b) & - 1 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 \sin^{2} (a) - \cos (c) (\cos (c) \cdot - 1 - \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) | \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $\cos (c)$ .

$- 1 \sin^{2} (a) - \cos (c) (- 1 \cdot \cos (c) - \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) | \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

Étape 3.2.2

Réécrivez $- 1 \cos (c)$ comme $- \cos (c)$ .

$- 1 \sin^{2} (a) - \cos (c) (- \cos (c) - \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) | \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} \cos (c) & - 1 \\ \cos (b) & \cos (a) \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 \sin^{2} (a) - \cos (c) (- \cos (c) - \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) - \cos (b) \cdot - 1)$

Étape 4.2

Multipliez $- \cos (b) \cdot - 1$ .

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 1 \sin^{2} (a) - \cos (c) (- \cos (c) - \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) + 1 \cos (b))$

Étape 4.2.2

Multipliez $\cos (b)$ par $1$ .

$- 1 \sin^{2} (a) - \cos (c) (- \cos (c) - \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) + \cos (b))$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Réécrivez $- 1 \sin^{2} (a)$ comme $- \sin^{2} (a)$ .

$- \sin^{2} (a) - \cos (c) (- \cos (c) - \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) + \cos (b))$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \sin^{2} (a) - \cos (c) (- \cos (c)) - \cos (c) (- \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) + \cos (b))$

Étape 5.1.3

Multipliez $- \cos (c) (- \cos (c))$ .

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Étape 5.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \sin^{2} (a) + 1 \cos (c) \cos (c) - \cos (c) (- \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) + \cos (b))$

Étape 5.1.3.2

Multipliez $\cos (c)$ par $1$ .

$- \sin^{2} (a) + \cos (c) \cos (c) - \cos (c) (- \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) + \cos (b))$

Étape 5.1.3.3

Élevez $\cos (c)$ à la puissance $1$ .

$- \sin^{2} (a) + \cos^{1} (c) \cos (c) - \cos (c) (- \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) + \cos (b))$

Étape 5.1.3.4

Élevez $\cos (c)$ à la puissance $1$ .

$- \sin^{2} (a) + \cos^{1} (c) \cos^{1} (c) - \cos (c) (- \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) + \cos (b))$

Étape 5.1.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \sin^{2} (a) + {\cos (c)}^{1 + 1} - \cos (c) (- \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) + \cos (b))$

Étape 5.1.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \sin^{2} (a) + \cos^{2} (c) - \cos (c) (- \cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) + \cos (b))$

Étape 5.1.4

Multipliez $- \cos (c) (- \cos (b) \cos (a))$ .

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Étape 5.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \sin^{2} (a) + \cos^{2} (c) + 1 \cos (c) (\cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) + \cos (b))$

Étape 5.1.4.2

Multipliez $\cos (c)$ par $1$ .

$- \sin^{2} (a) + \cos^{2} (c) + \cos (c) (\cos (b) \cos (a)) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a) + \cos (b))$

Étape 5.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$- \sin^{2} (a) + \cos^{2} (c) + \cos (c) \cos (b) \cos (a) + \cos (b) (\cos (c) \cos (a)) + \cos (b) \cos (b)$

Étape 5.1.6

Multipliez $\cos (b) \cos (b)$ .

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Étape 5.1.6.1

Élevez $\cos (b)$ à la puissance $1$ .

$- \sin^{2} (a) + \cos^{2} (c) + \cos (c) \cos (b) \cos (a) + \cos (b) \cos (c) \cos (a) + \cos^{1} (b) \cos (b)$

Étape 5.1.6.2

Élevez $\cos (b)$ à la puissance $1$ .

$- \sin^{2} (a) + \cos^{2} (c) + \cos (c) \cos (b) \cos (a) + \cos (b) \cos (c) \cos (a) + \cos^{1} (b) \cos^{1} (b)$

Étape 5.1.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \sin^{2} (a) + \cos^{2} (c) + \cos (c) \cos (b) \cos (a) + \cos (b) \cos (c) \cos (a) + {\cos (b)}^{1 + 1}$

Étape 5.1.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \sin^{2} (a) + \cos^{2} (c) + \cos (c) \cos (b) \cos (a) + \cos (b) \cos (c) \cos (a) + \cos^{2} (b)$

Étape 5.2

Réorganisez les facteurs dans les termes $\cos (c) \cos (b) \cos (a)$ et $\cos (b) \cos (c) \cos (a)$ .

$- \sin^{2} (a) + \cos^{2} (c) + \cos (a) \cos (b) \cos (c) + \cos (a) \cos (b) \cos (c) + \cos^{2} (b)$

Étape 5.3

Additionnez $\cos (a) \cos (b) \cos (c)$ et $\cos (a) \cos (b) \cos (c)$ .

$- \sin^{2} (a) + \cos^{2} (c) + 2 \cos (a) \cos (b) \cos (c) + \cos^{2} (b)$