Pré-calcul Exemples

$A = [\begin{array}{c} 5 & 0 & 4 \\ - 8 & 4 & 0 \\ 6 & - 4 & 4 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 4 & 4 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$5 | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 4 & 4 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 8 & 0 \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 8 & 0 \\ 6 & 4 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 8 & 4 \\ 6 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} - 8 & 4 \\ 6 & - 4 \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$5 | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 4 & 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 8 & 0 \\ 6 & 4 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} - 8 & 4 \\ 6 & - 4 \end{array} |$

Étape 2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} - 8 & 0 \\ 6 & 4 \end{array} |$ .

$5 | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 4 & 4 \end{array} | + 0 + 4 | \begin{array}{c} - 8 & 4 \\ 6 & - 4 \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ - 4 & 4 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 (4 \cdot 4 - (- 4 \cdot 0)) + 0 + 4 | \begin{array}{c} - 8 & 4 \\ 6 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$5 (16 - (- 4 \cdot 0)) + 0 + 4 | \begin{array}{c} - 8 & 4 \\ 6 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- (- 4 \cdot 0)$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$5 (16 - 0) + 0 + 4 | \begin{array}{c} - 8 & 4 \\ 6 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$5 (16 + 0) + 0 + 4 | \begin{array}{c} - 8 & 4 \\ 6 & - 4 \end{array} |$

Étape 3.2.2

Additionnez $16$ et $0$ .

$5 \cdot 16 + 0 + 4 | \begin{array}{c} - 8 & 4 \\ 6 & - 4 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} - 8 & 4 \\ 6 & - 4 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot 16 + 0 + 4 (- 8 \cdot - 4 - 6 \cdot 4)$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- 8$ par $- 4$ .

$5 \cdot 16 + 0 + 4 (32 - 6 \cdot 4)$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$5 \cdot 16 + 0 + 4 (32 - 24)$

Étape 4.2.2

Soustrayez $24$ de $32$ .

$5 \cdot 16 + 0 + 4 \cdot 8$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $5$ par $16$ .

$80 + 0 + 4 \cdot 8$

Étape 5.1.2

Multipliez $4$ par $8$ .

$80 + 0 + 32$

Étape 5.2

Additionnez $80$ et $0$ .

$80 + 32$

Étape 5.3

Additionnez $80$ et $32$ .

$112$