Pré-calcul Exemples

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} + 2 x + 1}{x^{3} - 8}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

Étape 2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

Étape 4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 1}{x^{3} - 8}$

Étape 5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x + 1}{x^{3} - 8}$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} + 2 lim_{x \to 2} x + 1}{x^{3} - 8}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1}{x^{3} - 8}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{3 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 1}{x^{3} - 8}$

Étape 7.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12 + 2 \cdot 2 + 1}{x^{3} - 8}$

Étape 7.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{12 + 4 + 1}{x^{3} - 8}$

Étape 7.1.4

Additionnez $12$ et $4$ .

$\frac{16 + 1}{x^{3} - 8}$

Étape 7.1.5

Additionnez $16$ et $1$ .

$\frac{17}{x^{3} - 8}$

Étape 7.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{17}{x^{3} - 2^{3}}$

Étape 7.2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{17}{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{17}{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}$

Étape 7.2.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{17}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$